Forma Geral de Arcos Côngruos

Todos os arcos no círculo trigonométrico possuem determinações, isto é, tem origem e extremidade. Dois ou mais arcos podem ter a mesma determinação, mas não podemos garantir que eles possuam o mesmo comprimento, pois ocorre que eles podem possuir um número inteiro de voltas completas diferentes. Nesse caso devemos aplicar uma definição geral para representar arcos e todos os seus côngruos.

Se um arco mede α graus, podemos expressar todos os arcos côngruos a ele da seguinte forma: α + 360º*k, k ? Z. Caso a medida do ângulo do arco seja dada em radianos, representamos por: α + 2π*k, k ? Z.

A determinação principal de um arco que mede α (graus ou radianos) é dada de acordo com as definições: 0º ≤ α < 360º ou 0 ≤ α < 2π. No caso de um ângulo maior que 360º devemos realizar a divisão por 360º e considerar o resto o valor da determinação principal. O resultado da divisão mostrará quantas voltas o arco realizou. Observe:

Exemplo 1

Considerando o arco α = 2100º, qual será a sua determinação principal.

2100º : 360º = quociente 5 e resto igual a 300. Portanto, o arco possui determinação principal no 4º quadrante (300º), com 5 voltas completas.


Exemplo 2

Dado o arco 17π/4 rad, a sua determinação principal será:

17π/4 rad = 16π/4 + π/4 = 4π + π/4, onde:

4π = corresponde a duas voltas completas
π/4 = determinação principal (45º – 1º quadrante)


Exemplo 3

Calcule a determinação principal do arco 26π/3 rad.

26π/3 rad = 6π/3 + 6π/3 + 6π/3 + 6π/3 + 2π/3 = 24π/3 + 2π/3 = 8π + 2π/3

8π = quatro voltas completas.
2π/3 = determinação principal (120º – 2º quadrante)


Exemplo 4

Determine a expressão geral dos arcos trigonométricos côngruos aos arcos de:

a) 3π/4 rad = 3π/4 + 2π * k, k ? Z

b) 75º = 75º + 360º * k, k ? Z

c) 14π/3 rad = 12π/3 + 2π/3

2π/3 + 2π * k, k ? Z

d) 1220º = 360º + 360º + 360º + 140º

140º + 360º * k, k ? Z