Probabilidade condicional
Probabilidade condicional refere-se à probabilidade de um evento ocorrer com base em um evento anterior. Evidentemente, esses dois eventos precisam ser conjuntos não vazios pertencentes a um espaço amostral finito.
Em um lançamento simultâneo de dois dados, por exemplo, obtêm-se números em suas faces superiores. Qual é a probabilidade de que a soma desses números seja 8, desde que ambos os resultados sejam ímpares?
Veja que a probabilidade de a soma desses números ser 8 está condicionada a resultados ímpares nos dois dados. Logo, lançamentos que apresentam um ou dois números pares na face superior podem ser descartados e, por isso, há uma redução no espaço amostral.
O novo espaço amostral é composto pelos pares:
{1,1}; {1,3}; {1,5}; {3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5}
Desses, apenas {3,5} e {5,3} possuem soma 8. Logo, a probabilidade de que se obtenha soma 8 no lançamento de dois dados, dado que os resultados obtidos são ambos ímpares, é de:
2
9
Fórmula da probabilidade condicional
Seja K um espaço amostral que contém os eventos A e B não vazios. A probabilidade de A acontecer, dado que B já aconteceu, é representada por P(A|B) e é calculada pela seguinte expressão:
P(A|B) = P(A∩B)
P(B)
Caso seja necessário calcular a probabilidade da intersecção entre dois eventos, pode-se utilizar a seguinte expressão:
P(A∩B) = P(A|B)·P(B)
Exemplos
Calcule a probabilidade de obter soma 8 no lançamento de dois dados em que o resultado do lançamento foi dois números ímpares.
Solução:
Seja A = Obter soma 8 e B = Obter dois números ímpares.
P(A∩B) é a probabilidade de se obter apenas números ímpares que somam 8 no lançamento de dois dados. As únicas combinações das 36 possíveis são:
{3,5} e {5,3}
Portanto,
P(A∩B) = 2
36
Já P(B) é a probabilidade de obter somente números ímpares no lançamento de dois dados. As únicas combinações dentro das 36 possíveis são:
{1,1}; {1,3}; {1,5}; {3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5}
Logo,
P(B) = 9
36
Utilizando a fórmula para probabilidade condicional, teremos:
P(A|B) = P(A∩B)
P(B)
2
P(A|B) = 36
9
36
P(A|B) = 2 · 36
36 9
P(A|B) = 2
9
Qual é a probabilidade de extrair uma carta de um baralho comum de 52 cartas e obter um Ás, sabendo que ela é uma carta de copas?
Solução:
A = Obter um Ás
B = Obter uma carta de copas
Como só existe um ás de copas no baralho,
P(A∩B) = 1
52
A probabilidade de se obter uma carta de copas é:
P(B) = 13
52
Então, a probabilidade de se obter um às de copas é:
P(A|B) = P(A∩B)
P(B)
1
P(A|B) = 52
13
52
P(A|B) = 1 · 52
52 13
P(A|B) = 1
13