Propriedades do conjugado e do módulo de números complexos

Utilizando a fórmula de Bhaskara, podemos verificar que algumas equações possuem o Δ negativo e, por essa razão, dizemos que não existe solução real para elas. Isso significa que, dentro do conjunto dos números reais, não existe qualquer número que, substituindo a incógnita, iguale essas equações a zero. Os números complexos foram criados para que essas raízes não reais, não só das equações do segundo grau, mas de qualquer polinômio, fossem encontradas.

Os números complexos diferenciam-se dos reais por possuírem uma parte imaginária. Geralmente, eles são expressos da seguinte maneira:

Z = a + bi, com i = √-1

A letra a, no número Z acima, representa a parte real que compõe o número complexo. Dessa forma, o conjunto dos números reais está totalmente incluído no conjunto dos números complexos.

Os números reais possuem um elemento chamado inverso multiplicativo. Esse elemento é o único em todo o conjunto numérico que, multiplicado por seu inverso, tem como resultado a unidade.

Se “a” pertence aos números reais, então 1/a é o seu inverso multiplicativo:

a •  1  = 1
  a   

O mesmo acontece com os números complexos. Se A pertence aos números complexos, 1/A será seu inverso multiplicativo. Assim, A = a + bi e 1/A = a – bi. Esse número ficou conhecido como conjugado de um número complexo e, para indicá-lo, utilizamos a notação .

O módulo de um número complexo também é definido de forma análoga ao módulo de um número real. Enquanto o módulo de um número real é a distância entre esse número e o zero, considerando todos os números reais como uma reta numérica, o módulo de um número complexo é a distância entre o ponto que o representa no plano cartesiano e o ponto (0,0).

A expressão matemática para isso é |A| = √(a² + b²), em que A = a + bi e |A| é a notação utilizada para módulo.

A seguir, utilizaremos essas definições para demonstrar propriedades envolvendo o conjugado e o módulo de números complexos. Refazer cada uma das demonstrações como se fossem exercícios é o caminho mais curto para aprender mais sobre elas e ficar preparado para qualquer exercício sobre o assunto.

• Propriedades envolvendo o conjugado de um número complexo:

Primeira propriedade: O produto de um número complexo por seu conjugado é a soma dos quadrados da parte real com a parte imaginária. Matematicamente, se A = a + bi:

             
A · A = a² + b²

Demonstração:

                       
A·A = (a + bi)(a – bi)

                               
A·A = a² – abi + abi – b²i²

               
A·A = a² – b²i²

Como i = √-1, então:

                        
A·A = a² – b²·√-1·√-1

                   
A·A = a² – b²·(-1)

              
A·A = a² + b²

                                                                                                           _
Segunda propriedade: Se A é um número complexo, então A = A se, e somente se, A for um número real.

Demonstração:

        
A = A

a + bi = a – bi

bi = – bi

Como o único número que é positivo e negativo ao mesmo tempo (ou que não é positivo nem negativo) é o zero, então b = 0. Logo:

A = a

Terceira propriedade: A soma dos conjugados é igual ao conjugado da soma. Em outras palavras:

_    _     ____
A + B = A + B

Demonstração: Considere A = a + bi e B = c + di

_____
A + B

______________
(a + bi) + (c + di)

____________
a + c + bi + di

______________
(a + c) + (b + d)i

(a + c) – (b + d)i

a + c – bi – di

a – bi + c – di

_    _
A + B

Quarta propriedade: O produto do conjugado de um produto é igual ao produto dos conjugados.

___    _  _
A·B = A·B

Demonstração: Sejam A = a + bi e B = c + di:

___
A·B

___________
(a + bi)(c + di)

_________________
ac + adi + cbi + bdi²

^{__________________________}
ac + adi + cbi – bd

________________
ac – bd + (ad + cb)i

ac – bd – (ad + cb)i

Agora faremos o produto entre os conjugados de A e B para comparar os dois resultados no final.

_ _
A·B

_____ _____
(a + bi)(c + di)

(a – bi)(c – di)

ac – adi – cbi + bdi²

ac – adi – cbi – bd

ac – bd – (ad + cb)i

Repare que o desenvolvimento dos dois lados da igualdade tem o mesmo resultado, portanto, a igualdade é válida.

• Propriedades envolvendo o módulo de um número complexo:

Primeira propriedade: O quadrado do módulo de um número complexo é igual ao produto desse mesmo número por seu conjugado. Em outras palavras:

          
AA = |A|²

                                                                              
Demonstração: seja A = a + bi. Isso significa que A = a – bi.

    
AA

(a + bi)(a – bi)

a² – abi + abi – b²i²

a² – b²(-1)

a² + b²

Por outro lado,

|A|²

(√a² + b²)²

a² + b²

Os dois lados da igualdade têm o mesmo resultado, portanto, a igualdade é válida.

Segunda propriedade: O módulo de um número complexo é igual ao módulo de seu conjugado. Em outras palavras:

             
|A| = |A|

                                                             
Demonstração: Seja A = a + bi, então A = a – bi.

|A| = √(a² + b²)

                                           
|A| = √[(a² + (–b)²] = √(a² + b²)

Os dois lados da igualdade têm o mesmo resultado. Dessa forma, a igualdade é válida.

Terceira propriedade: O módulo do produto entre dois números complexos é igual ao produto dos módulos de dois números complexos. Em outras palavras:

|AB| = |A||B|

Demonstração: Sendo A e B números complexos quaisquer e utilizando a primeira propriedade em |AB|, temos:

                 __
|AB|² = ABAB

Agora basta reorganizar os números complexos do segundo termo da igualdade e utilizar novamente a primeira propriedade para reescrevê-los em forma de módulo:

  _   _
AABB

|A|²|B|²

(|A||B|)²

√(|A||B|)²

|A||B|

Como, partindo de |AB|, chegamos até |A||B|, então a propriedade é válida. Observe que os módulos sempre serão números não negativos. Esse é o motivo de ser possível extrair a raiz de (|A||B|)² sem preocupações.