Whatsapp icon Whatsapp

Conjuntos

Um conjunto é estabelecido quando agrupamos elementos com as mesmas características. Esses agrupamentos possuem notação própria, utilizando-se letras maiúsculas para dar nome a eles, e representação específica, em geral por meio de círculos, formando-se o que se conhece como diagrama de Venn, ou listando-se os elementos dos conjuntos.

Leia também: Teoria dos conjuntos: o que estuda e para que serve?

Notação e representação de um conjunto

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Quando estudamos conjunto, devemos inicialmente compreender o modo como representamos e denotamos alguns elementos. Em geral, utiliza-se letras maiúsculas para nomear um conjunto.

Podemos representar um mesmo conjunto de diferentes modos. Veja:

  • Exemplo

Representação do conjunto dos números pares menores que 10.           

Os elementos do conjunto A são os números pares menores que 10. Na representação gráfica, os elementos devem ficar no interior do círculo, essa representação é conhecida por diagrama de Venn-Euler. Podemos representar também o conjunto fazendo uma lista de seus elementos:

A = {0, 2, 4, 6, 8}

Ao representarmos um conjunto na forma de lista, devemos separar os elementos por vírgula ou ponto e vírgula. Podemos representar o conjunto dos pares menores que 10 também assim:

A = { p | p é par menor que 10}

O qual lemos da seguinte forma: “p tal que p é par menor que 10”.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Relação de pertinência

A relação de pertinência mostra se um elemento está dentro ou não de um conjunto, ou seja, se ele pertence ou não pertence a um conjunto. Vamos utilizar os seguintes símbolos para a relação de pertinência.

Assim, para afirmar se um elemento está ou não no conjunto, devemos utilizar a notação anterior. Veja:

  • Exemplo

Considere o conjunto B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 15}.

Observe que o elemento 5 está dentro do conjunto B e que o elemento 0, por exemplo, não está, assim:

Relação de inclusão

A relação de inclusão mostra-nos se um conjunto está contido ou não dentro de outro. Na relação de inclusão, utilizamos os seguintes símbolos:

  • Exemplo

Considere os conjuntos:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {2, 3}

C = {5, 6, 7}

Observe que o conjunto B está por completo dentro do conjunto A, portanto, o conjunto B está contido no conjunto A.

A ⸦ B

Por outro lado, o conjunto C não está por completo no conjunto A, logo, o conjunto C não está contido no conjunto A.

Para que o conjunto A esteja contido no conjunto B, todos os elementos de A devem estar no conjunto B.

Veja mais: Conjuntos e seus elementos: relações e representações

Subconjuntos

A ideia de subconjunto está ligada à relação de inclusão, dizemos que A é subconjunto de B se, e somente se, todos os elementos de A forem elementos de B, ou seja, se A⸦ B, então A é subconjunto de B.

  • Exemplo

Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B ={a, b, c, d, e, f, g, h}.

Observe que todos os elementos de A são elementos de B, portanto, A é subconjunto de B, isto é: A ⸦ B.

O contrário já não é verdade, pois nem todo elemento de B é elemento de A, portanto, B não é subconjunto de A.

Conjunto unitário

Um conjunto é dito unitário se ele possuir um único elemento. Veja o exemplo:

  • Exemplo  

O conjunto A é unitário.

A = {7}

Conjunto universo

O conjunto universo é o que contém todos os outros conjuntos. Por exemplo, considere os conjuntos A = {– 1, – 2, 1, 2}, B ={0, 1, 2, 3} e C = {1, –1, 2, –2}, veja que todos eles são compostos por números inteiros, ou seja:

Portanto, o conjunto dos números inteiros é o conjunto universo.

Conjunto complementar

Considere dois conjuntos A e B de forma que A ⸦ B.

O conjunto complementar é formado pela diferença B – A, ou seja, tomamos os elementos de B e retiramos os elementos de A contidos em B. Esse conjunto é chamado complementar de B em relação a A.

Conjuntos das partes

O conjunto das partes de A é formado por todos os possíveis subconjuntos dos elementos do conjunto A. Veja o exemplo:

  • Exemplo

Determine o conjunto das partes do conjunto A = {1, 2, 3}   

O conjunto das partes é denotado por P (A) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {}}.

Para determinar o número de elementos do conjunto das partes de A, basta resolver a potência 2n, em que n é o número de elementos do conjunto A. Do exemplo 6, temos que o número de elementos de A é 3, logo, o número de elementos do conjunto das partes de A será:

23

2 · 2 · 2

8

Observação: O conjunto vazio {} está contido em todo conjunto.

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos serão iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos elementos em qualquer que seja a ordem. Desse modo, os conjuntos a seguir são iguais:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

B = {6, 5, 4, 3, 2, 1}

C = {6, 6, 5, 4, 5, 4, 3, 6, 2, 1}

Note que os conjuntos A, B, e C possuem os mesmos elementos, ainda que no conjunto C exista repetições, a definição de Igualdade de conjunto leva em consideração somente a presença do elemento.

Acesse também: Noções importantes para o estudo da teoria dos conjuntos

Operações com conjuntos

  • União de conjuntos

Considere dois conjuntos A e B, a união entre eles será um novo conjunto formado por elementos de A ou elementos de B.

Representamos a união com o símbolo U, então A U B é a união entre os conjuntos A e B.

  • Exemplo

Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B ={c, d, e, f, g}.

Para determinar o conjunto união, basta escrever o conjunto formado por elementos que estão em ambos conjuntos, assim:

A U B = {a, b, c, d, e, f, g}

  • Intersecção de conjuntos

A interseção de conjuntos é formada por elementos que estão simultaneamente nos conjuntos envolvidos. Assim, considerando dois conjuntos A e B, a interseção é formada por elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Denotamos a interseção por ∩.

  • Exemplo

Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B ={c, d, e, f, g}.   

Para determinar a intersecção entre os dois conjuntos, devemos encontrar os elementos que pertencem a eles.

A ∩ B = {c, d, e}

O diagrama de Venn é utilizado para representar graficamente os conjuntos e as relações entre eles.
O diagrama de Venn é utilizado para representar graficamente os conjuntos e as relações entre eles.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} e B ={d, e, f, g, h, i}. Determine (A – B) U (B – A).

Resolução

Vamos determinar os conjuntos A – B e B – A e, em seguida, realizar a união entre eles.

A – B = {a, b, c, d, e, f} – {d, e, f, g, h, i}

A – B = {a, b, c}

B – A = {d, e, f, g, h, i} – {a, b, c, d, e, f}

B – A = {g, h, i}

Desse modo, (A – B) U (B – A) é:

{a, b, c} U {g, h, i}

{a, b, c, g, h, i}

Questão 2 – Determine o valor de x para que os conjuntos A = {1, 1, 2, 3} e B = {1, x, 3} sejam iguais.

Resolução

          

Vimos que dois conjuntos são iguais se todos os seus elementos forem iguais independentemente da ordem. Observando os conjuntos A e B, veja que o único elemento que falta no conjunto B para que A = B é o número 2, uma vez que elementos repetidos podem ser considerados como um só. Portanto:

x = 2

Questão 3 – Considere os conjuntos A = {a, b, c, d}, B= {c, d, e, f, g} e C = {b, d, e, g}. Determine os conjuntos:

a) B – A

b) A – C

c) A – B

Resolução

a) Para determinar o conjunto B – A, devemos considerar os elementos do conjunto B e retirar os elementos de A que pertencem ao conjunto B.

B – A = {e, f, g}

b) De maneira análoga, devemos considerar os elementos do conjunto A e retirar os elementos do conjunto C.

A – C = {a, c}

c) Da mesma maneira, determinamos o conjunto A – B.

A – B = {a, b}

Observe que A – B é diferente de B – A. 

Publicado por Robson Luiz

Artigos de Conjuntos

Conjunto e seus elementos
Conjunto, Relação entre conjunto, Conjunto e elemento, Elemento, Elemento de um conjunto, Igualdade de conjunto, Relação de inclusão, Relação de pertinência, Contém, Pertence.
Noções importantes
Noções importantes, Conjuntos, Representação de conjuntos, Conjuntos, Diagrama, Conjunto de números pares, Designação de seus elementos, Propriedades dos elementos, Elementos.
Operações com conjuntos
Clique aqui, conheça cada uma das operações entre conjuntos, e aprenda a realizar o cálculo de cada uma delas.
Operações entre Conjuntos
Operações da intersecção, união e diferença entre conjuntos.
Teoria dos conjuntos
Entenda o que é a teoria dos conjuntos e aprenda a realizar operações entre eles. Conheça também os principais tipos de conjuntos e as suas propriedades.
Tipos de conjunto
Confira aqui as características dos diferentes tipos de conjunto: conjunto finito, conjunto infinito, conjunto unitário, conjunto vazio e conjunto universo.
video icon
Escrito"Matemática do Zero | Gráfico de linha, barra (coluna) e setor (pizza)" em fundo azul.
Matemática do Zero
Matemática do Zero | Gráfico de linha, barra (coluna) e setor (pizza)
Nessa aula utilizarei um exemplo de uma pesquisa das idades dos alunos para construir um gráfico de linha, outro gráfico de barra ou coluna, e por fim, um gráfico de setor ou pizza.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.