Diagramas de Venn

O diagrama de Venn foi proposto por John Venn (1834-1923), matemático inglês. A ideia desse diagrama é representar graficamente conjuntos colocando-se nos seus interiores seus respectivos elementos. Com essa representação gráfica, o entendimento sobre as operações com conjuntos, como intersecção e união, torna-se muito mais intuitivo. 

O diagrama de Venn é também conhecido por diagrama de Venn-Euler, devido a registros históricos afirmarem que o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) também utilizava tal ferramenta. 

Leia também: Teoria dos conjuntos: o que estuda e para que serve?  

Representações do diagrama de Venn 

Para representar conjuntos utilizando o diagrama de Venn, devemos colocar os elementos no interior de uma região delimitada, veja o exemplo.  

  • Exemplo 1: Representação do conjunto A = {a, b, c, d, e} 

Veja que todos os elementos que pertencem ao conjunto estão no interior da região delimitada pela circunferência, ou seja, caso seja necessário representar que um elemento não pertence ao conjunto, basta colocá-lo fora da região. Veja: 

Perceba que o elemento h não pertence ao conjunto A, e, assim, ele deve ser representado fora da região delimitada. 

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  • Conjunto único  

Para representar um conjunto único utilizando o diagrama de Venn, devemos fazer como mostrado anteriormente, basta representar o conjunto por uma região delimitada e colocar seus elementos no interior dela.  

  • Exemplo 2: Representação do conjunto B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} 

Note que o conjunto B é formado por números pares menores ou iguais a 16, veja também que, para representar conjuntos infinitos, o diagrama de Venn torna-se obsoleto. 

  • Entre dois conjuntos 

Para representar dois conjuntos utilizando o diagrama de Venn, devemos, primeiro, analisar as possibilidades de relações entre dois conjuntos. Dados dois conjuntos, temos duas possibilidades de correlacioná-los: ou eles possuem elementos em comum ou eles não os possuem, isto é, há entre eles intersecção ou não.  

Caso os dois conjuntos possuam elementos em comum, ou seja, possuam intersecção, devemos representá-los com partes em comum.

Na região a que pertence as duas circunferências, devemos colocar os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B, e ela é chamada de intersecção dos conjuntos A e B. 

Casos os conjuntos não possuam intersecção, isto é, não têm nenhum elemento em comum, eles devem ser representados por: 

Quando os conjuntos não possuem intersecção, eles são chamados de conjuntos disjuntos.  

  • Exemplo 3: Representação dos conjuntos A = {a, b, c, d, e, f, g} e B = {f, g, h, i, j, k}  

Observe que os elementos f e g pertencem aos dois conjuntos, assim, eles devem ser colocados na região comum a ambos, e os demais, em seus respectivos conjuntos. 

  • Exemplo 4: Representação dos conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {0, 2, 4, 6, 8}  

Veja que os conjuntos A e B não têm nenhum elemento em comum, logo, são chamados de disjuntos. 

  • Entre três conjuntos  

A representação de três conjuntos utilizando-se o diagrama de Venn é semelhante à representação de dois conjuntos. Caso eles possuam intersecção, devemos representá-los da seguinte maneira: 

Caso eles sejam disjuntos, isto é, não apresentem intersecção, devemos representá-los assim: 

  •  Exemplo 5: Representação dos conjuntos A ={a, b, c, d, e}, B ={d, e, f, g, h} e C ={c, d, e, f, g, i}  

Observe que os conjuntos possuem elementos comum, assim devemos colocar tais elementos em suas respectivas partes. Veja: 

Note que o elemento c pertence aos conjuntos A e C, enquanto os elementos g e f pertencem aos conjuntos B e C, e, por fim, os elementos d e e pertencem aos conjuntos A, B e C.  

  • Exemplo 6: Representação dos conjuntos A ={a, b, c}, B ={d, e, f} e C ={g, h, i}  

Observe que os conjuntos não possuem nenhum elemento em comum. 

Leia também: Conjuntos e seus elementos: relações e representações 

Operações entre conjuntos 

O diagrama de Venn pode auxiliar na compreensão das operações com conjuntos, que são: união, intersecção, diferença e complementar.  

  • União 

Sabemos que a união entre dois conjuntos A e B é formada por elementos de A ou de B, em outras palavras, é formada pela junção de A e B. Assim, para representar essa união no diagrama de Venn, basta hachurar os dois conjuntos.                      

  • Intersecção 

Sabemos que a intersecção entre dois ou mais conjuntos é constituída pela parte comum a eles, logo, para destacar a intersecção no diagrama de Venn, basta hachurar as partes comuns aos conjuntos

  • Diferença entre conjuntos  

A diferença entre os conjuntos A e B é formada por elementos de A menos os elementos de B. Assim, para demarcar no diagrama de Venn, basta considerar elementos que pertencem somente ao conjunto A. 

  •  Conjunto complementar  

Dados os conjuntos A e B, caso o conjunto A esteja contido no conjunto B, a diferença B – A refere-se ao conjunto complementar de A em relação a B.  

Para expressar a operação, basta destacar os elementos de B que não estão em A.         

Acesse também: Noções importantes para o estudo da teoria dos conjuntos 

Exercícios resolvidos 

Questão 1 – (CRM – ES) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 informavam-se pelo site A; 150, por meio do site B; 20 buscavam informar-se por meio dos dois sites, A e B; e 110 não se informavam por nenhum desses dois sites. 
Desse modo, é correto afirmar que o número de pessoas consultadas nessa pesquisa foi de:  

a) 380 

b) 360 

c) 340 

d) 270 

e) 230

Resolução 

Observe que os conjuntos a serem representados são os sites A e B. Como existem pessoas que pesquisam em ambos, podemos afirmar que existe intersecção entre os conjuntos. 

É sempre indicado começar a resolver o exercício determinando o número de elementos das intersecções, nesse caso: um. Isso faz com que não contemos duas vezes as mesmas pessoas entrevistas. 

Após determinar a intersecção, para saber o valor de quem só utiliza o site A, devemos retirar a pessoa já entrevistada que utiliza os dois sites, e o mesmo deve ser feito com quem utiliza somente o site B. Veja:             

Assim temos que 80 pessoas utilizam somente o site A; 20 pessoas utilizam os dois; 130 pessoas utilizam somente o site B; e 110 não utilizam nenhum site. Assim o total de entrevistados foi: 

80 + 20 + 130 + 110 

340  

Alternativa C.  

Questão 2 – Sabe-se que o conjunto A tem 25 elementos, a intersecção desse conjunto A com conjunto B tem 15 elementos, e a união entre eles tem 34 elementos. Assim, determine o número de elementos do conjunto B. 

Resolução 

Utilizando o diagrama de Venn e os dados do exercício, sabemos somente a quantidade de elementos da intersecção, assim:

Como o conjunto A possui 25 elementos, então: 

a + 15 = 25 

a = 25 – 15 

a = 10 

Agora, como a união possui 34 elementos, então temos que: 

a + 15 + b = 34 

10 + 15 + b = 34 

25 + b = 34 

b = 34 – 25 

b = 9

Portanto, o número de elementos do conjunto B é: 9. 

n (B) = 9   

Publicado por: Robson Luiz
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Lista de Exercícios

Questão 1

Em uma sala de aula, a professora de Matemática decidiu fazer um levantamento dos lanches comprados pelos alunos. A professora verificou que, de um total de 35 alunos, dezenove compraram salgado; destes, quatro compraram pizza e salgado, e sete alunos não compraram lanche nesse dia. Quantos alunos compraram apenas pizza?

Questão 2

Em um curso de idiomas, foi feita uma pesquisa com adolescentes para verificar quais línguas estrangeiras eles gostariam de aprender. O resultado foi:

  • 23 gostariam de aprender inglês;

  • 24 gostariam de aprender espanhol;

  • 25 gostariam de aprender italiano;

  • 12 gostariam de aprender inglês e italiano;

  • 10 gostariam de aprender italiano e espanhol;

  • 9 gostariam de aprender inglês e espanhol;

  • 7 gostariam de aprender inglês, espanhol e italiano.

Quantos adolescentes foram entrevistados?

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