Operações com conjuntos

As operações com conjuntos são operações matemáticas importantes para os estudos da teoria dos conjuntos. Um conjunto é estabelecido quando agrupamos elementos com as mesmas características. Existem três operações com conjuntos, são elas: a união, a intersecção a diferença. Existe também um caso particular da diferença de dois conjuntos, que resulta no conjunto complementar.

Leia também: Tipos de conjuntos — quais são eles?

Resumo sobre operações com conjuntos

• Existem três operações entre conjuntos, são elas: a união, a intersecção e a diferença.

• A união de dois conjuntos é representada por A∪B — o conjunto formado pela junção dos elementos do conjunto A e do conjunto B.

• A intersecção de dois conjuntos é representada por A∩B — o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B simultaneamente.

• A diferença entre dois conjuntos é representada por A – B — o conjunto formado pelos elementos que pertencem somente ao conjunto A.

Videoaula sobre operações entre conjuntos

Quais são as operações com conjuntos?

As operações entre dois conjuntos são a união, a intersecção e a diferença. O resultado de cada uma é também um conjunto. Veja, a seguir, como realizar cada uma delas.

→ União de conjuntos

A união de dois ou mais conjuntos é a junção de todos os elementos pertencentes a eles. Para representar a união entre os elementos do conjunto A e do conjunto B, utilizamos o símbolo ∪ entre os conjuntos, ou seja, A∪B (lê-se: A união com B). Podemos representar a união de dois conjuntos pelo diagrama de Venn:

A união de dois conjuntos no diagrama é representada pelas regiões internas do círculo do conjunto A e do círculo do conjunto B.

Exemplo:

Dado os conjuntos A = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18} e B = {1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16}, como será a união entre eles, ou seja, A∪B?

Resolução:

A ∪ B= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18}.

→ Intersecção de conjuntos

A intersecção de conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que se repetem em todos os conjuntos. Representamos a intersecção pelo símbolo ∩, então, para representar a intersecção do conjunto A com o conjunto B, utilizamos A∩B. Podemos representar a intersecção entre dois conjuntos no diagrama de Venn:

No diagrama de Venn, a intersecção dos dois conjuntos é representada pela área que pertence ao conjunto A e ao conjunto B simultaneamente, na imagem, é a região destacada em vermelho.

Exemplo:

Dado os conjuntos A = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18} e B = {1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16}, como será a intersecção entre eles, ou seja, A∩B?

Resolução:

\(A\cap B={1,6,12}\)

→ Diferença de conjuntos

A diferença entre dois conjuntos é caracterizada pelos elementos que pertencem somente ao primeiro conjunto, por exemplo, dado o conjunto A e o conjunto B, a diferença entre eles, representada por A – B, é o conjunto de elementos que pertencem somente ao conjunto A. Veja no diagrama de Venn:

Exemplo:

Dado os conjuntos A = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18} e B = {1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16}, a intersecção entre eles, ou seja, A – B será qual conjunto?

Resolução:

Para encontrar os termos que pertencem exclusivamente ao conjunto A, vamos tirar dele os elementos que pertencem também ao conjunto B, então temos que:

A – B = {3, 9, 15, 18}

Podemos calcular também a diferença entre o conjunto B e o conjunto A, ou seja:

B – A = {2, 4, 8, 10, 16}

• Conjunto complementar

O conjunto complementar é um caso particular de subtração entre conjuntos. Para compreendê-lo, antes é necessário conhecer o conjunto universo — formado por todos os elementos de um espaço amostral, por exemplo, o universo dos números entre 0 e 15:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

Nele temos os subconjuntos, como os números naturais pares menores que 15.

P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

Ou o conjunto dos números múltiplos de 5 entre 0 e 15.

M = {0, 5, 10, 15}

Para um conjunto universo determinado, o conjunto complementar A é o conjunto U – A. O conjunto complementar de A é representado por A^c.

Exemplo:

Utilizando o universo apresentado anteriormente:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

E o conjunto P e o conjunto M:

P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

M = {0, 5, 10, 15}

O conjunto complementar de P em relação ao universo U é:

P^c = {1, 3, 5, 7, 11, 13, 15}

O conjunto complementar de M em relação ao universo U é:

M^c = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14}

Saiba mais: Operações com frações — como resolver?

Exercícios resolvidos sobre operações com conjuntos

Questão 1

(GS - Prefeitura de Irati - Agente Administrativo - 2021) Analisando o diagrama abaixo, pelo posicionamento dos elementos 1 e 2, podemos afirmar que eles formam o conjunto:

A) conjunção de A com B.

B) universo de B.

C) união de A com B.

D) universo de A.

E) interseção de A com B.

Resolução:

Alternativa E

O conjunto formado pelos números {1, 2} tem os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B, logo, ele é a intersecção de A com B.

Questão 2

(Instituto Machado de Assis – 2018 – Prefeitura de Luís Correia – PI) Temos os conjuntos A e B, sendo A = {2, 5, 7, 9} e B = {5, 9, 11}. Qual é o conjunto formado entre A–B?

A) {11}

B) {2, 11}

C) {2, 7}

D) {5, 9}

Resolução:

Alternativa C

O conjunto A – B é formado pelos elementos que pertencem somente ao conjunto A, ou seja, que não pertencem ao conjunto B. A – B = {2, 7}.