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Determinando o centro de uma circunferência

Existe uma técnica utilizada para encontrar o centro de uma circunferência, substituindo três pontos pertencentes a ela na equação reduzida da circunferência.
Circunferências de papel
Circunferências de papel

Muitas vezes os conceitos de círculo e circunferência podem ser confundidos por se tratarem de figuras parecidas, mas a diferença é que a circunferência é uma figura formada pelo contorno do círculo, isto é, o círculo é uma região circular e a circunferência, os limites dessa região.

Matematicamente, circunferência é uma figura formada por um conjunto de pontos que possui a mesma distância de um ponto chamado centro. Essa distância é chamada raio. Em outras palavras, dados um ponto C e uma distância r, circunferência é o conjunto de pontos que possui a mesma distância r de C.

 

Na figura acima, a linha verde é o conjunto de pontos formado pela definição de circunferência.

Uma circunferência não pode ser desenhada a partir de um único ponto, pois por um único ponto passam infinitas circunferências. O mesmo acontece quando a tentativa é feita para 2 pontos.

Para desenhar uma circunferência no plano, são necessários 3 pontos.

Para encontrar as coordenadas do centro de uma circunferência qualquer, a seguinte técnica pode ser utilizada:

1- Escolher três pontos pertencentes à circunferência dada;

2- Substituir as coordenadas de cada ponto em uma equação reduzida da circunferência, formando, assim, 3 equações; e

3- Com essas 3 equações, montar um sistema e resolvê-lo.

1- Utilizando o exemplo acima, escolhemos os três pontos A(0,0), B(8,0) e C(0,4)

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2- A equação reduzida da circunferência é:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Onde “x” e “y” são as coordenadas do centro, “a” e “b” são as coordenadas de um ponto qualquer, e “r” é o raio.

Substituindo o ponto A na equação reduzida da circunferência teremos a equação I:

(x - 0)2 + (y - 0)2 = r2

x2 + y2 = r2

Substituindo o ponto B na equação reduzida da circunferência teremos a equação II:

(x - 8)2 + (y - 0)2 = r2

x2 – 16x + 64 + y2 = r2

Substituindo o ponto D na equação reduzida da circunferência teremos a equação III:

(x - 0)2 + (y - 4)2 = r2

x2 + y2 – 8y + 16 = r2

3- Montagem do sistema e resolução:

I- x2 + y2 = r2

II- x2 – 16x + 64 + y2 = r2

III- x2 + y2 – 8y + 16 = r2

Subtraindo a equação I da equação II teremos:

-16x + 64 = 0

16x = 64

x = 64
     16

x = 4

Subtraindo a equação II da equação III teremos:

-8y + 16 = 0

8y = 16

y = 16
      8

y = 2

Os valores encontrados para x e y são justamente o par ordenado referente ao centro da circunferência, que agora já pode ser escrito e representado: C(4,2).

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva

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