Inequação trigonométrica

Semelhantemente ao que ocorre com as equações trigonométricas do tipo sen x = sen y e cos x = cos y ou com equações trigonométricas do tipo tg x = tg y, uma inequação é dita inequação trigonométrica quando é verificada a ocorrência de alguma função trigonométrica em pelo menos um dos lados da desigualdade. Ao trabalhar com esse tipo de inequação, normalmente é possível reduzi-la a alguma inequação conhecida, que é chamada de inequação trigonométrica fundamental.

Vejamos os seis tipos de inequações trigonométricas fundamentais:

1° tipo) sen x > n (sen x ≥ n)

Seja n o seno de um arco y qualquer, tal que 0 ≤ n < 1. Se sen x > n, então todo x entre y e π – y é solução da inequação, assim como podemos ver na parte destacada de azul na figura a seguir:

Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo sen x > n

A solução dessa inequação pode ser dada na primeira volta do ciclo trigonométrico como S = { x   | y < x < π – y}. Para estender essa solução para o conjunto dos reais, podemos afirmar que S = { x   | y + 2kπ < x < π – y + 2kπ, k   } ou S = { x | y + 2kπ < x < (2k + 1)π – y, k   }

2° tipo) sen x < n (sen x ≤ n)

Se sen x < n, então a solução é dada por dois intervalos. A figura a seguir representa essa situação:

Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo sen x < n

Na primeira volta do ciclo, a solução pode ser dada como S = { x   | 0 ≤ x ≤ y ou π – y ≤ x ≤ 2π} . No conjunto dos reais, podemos afirmar que S = { x   | 2kπ ≤ x < y + 2kπ ou π – y + 2kπ ≤ x ≤ (k + 1).2π, k  }.

3° tipo) cos x > n (cos x ≥ n)

Seja n o cosseno de um arco y, tal que – 1 < n < 1. A solução deve ser dada a partir de dois intervalos: 0 ≤ n < 1 ou – 1 < n ≤ 0. Veja a figura a seguir:

Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo cos x > n

Para que a solução dessa inequação esteja na primeira volta do ciclo trigonométrico, devemos apresentar S = { x   | 0 ≤ x < y ou 2π – y ≤ x < 2π }. Para estender essa solução para o conjunto dos reais, podemos dizer que S = { x   | 2kπ ≤ x < π + 2kπ ou 2π – y + 2kπ < x < (k + 1).2π, k   }.

4° tipo) cos x < n (cos x ≤ n)

Nesses casos, há apenas um intervalo e uma única solução. Observe a figura a seguir:

Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo cos x < n

Na primeira volta do ciclo, a solução é S = { x   | y < x < 2π – y}. No conjunto dos reais, a solução é S = { x   | y + 2kπ < x < 2π – y + 2kπ, k   }.

5° tipo) tg x > n (tg x ≥ n)

Seja n a tangente de um arco y qualquer, tal que n > 0. Se tg x > n, há duas soluções como podemos ver na figura:

Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo tg x > n

A solução dessa inequação pode ser dada no conjunto dos reais como S = { x   | y + 2kπ < x < ^π/₂ + 2kπ ou y + π + 2kπ < x < ^3π/₂ + 2kπ}. Na primeira volta do ciclo, temos: S = { x   | y < x < ^π/₂ ou y + π < x < ^3π/₂, k   }.

6° tipo) tg x < n (tg x ≤ n)

Esse caso é semelhante ao anterior. Se n > 0, temos:

Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo tg x < n

Na primeira volta do ciclo, temos como solução: S = { x   | 0 ≤ x < y ou ^π/₂ < x < y + π ou ^3π/₂ < x < 2π}. No conjunto dos reais a solução é S = { x   | kπ ≤ x < y + kπ ou ^π/₂ + kπ < x < (k + 1).π, k   }.