Identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas são igualdades envolvendo funções trigonométricas. Elas também são conhecidas como transformações trigonométricas.

Alguns exemplos de identidade trigonométrica são a função tangente e a relação fundamental da trigonometria. Existem outras identidades trigonométricas, como as funções secante, cossecante e cotangente.

Leia também: Quais são as funções trigonométricas?

Quais são as identidades trigonométricas?

Existem várias identidades trigonométricas, mas as principais são a função tangente e a relação fundamental da trigonometria.

• Função tangente

A função tangente é igual à razão entre a função seno e a função cosseno para um mesmo ângulo:

\(tan\ \alpha=\frac{sen\ \alpha}{cos\ \alpha}\)

Note que essa identidade torna possível uma relação entre as funções seno, cosseno e tangente para um determinado ângulo.

• Relação fundamental da trigonometria

A relação fundamental da trigonometria é uma aplicação do teorema de Pitágoras para as funções trigonométricas no ciclo trigonométrico. Dessa aplicação surge a identidade que leva o nome de relação fundamental da trigonometria:

\(sen^2\alpha+cos^2\alpha=1\)

Exemplo:

O ângulo x possui valor de seno igual a \(\frac{3}{5}\), então o valor do cosseno e da sua tangente, sabendo que esse ângulo pertence ao primeiro quadrante, são iguais a:

Resolução:

Primeiro calcularemos o valor do cosseno, pois sabemos que:

\(sen^2x+cos^2x=1\)

\(\left(\frac{3}{5}\right)^2+cos^2x=1\)

\(\frac{9}{25}+cos^2x=1\)

\(cos^2x=1-\frac{9}{25}\)

\(cos^2x=\frac{25-9}{25}\)

\(cos^2x=\frac{16}{25}\)

\(cosx=\sqrt{\frac{16}{25}}\)

\(cosx=\frac{4}{5}\)

Conhecendo o valor do cosseno e do seno, agora é possível calcular a tangente do ângulo:

\(tgx=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}\)

\(tgx=\frac{3}{4}\)

Demonstração das identidades trigonométricas

Podemos demonstrar tanto a função tangente quanto a relação fundamental da trigonometria recorrendo à representação no ciclo trigonométrico:

O círculo representado na imagem possui raio medindo 1. Note que, ao aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos que:

\(x² + y² = 1\)

Mas note que x é o valor do cosseno do ângulo e y é o valor do seno do ângulo, logo temos que:

\(cos^2\alpha+sen^2\alpha=1\)

Fica demonstrada a relação fundamental da trigonometria.

Utilizando o mesmo raciocínio, podemos demonstrar também que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno do ângulo. Sabemos que a tangente é igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente do ângulo, logo:

\(tg\ \alpha=\ \frac{y}{x}\)

\(tg\ \alpha=\ \frac{sen\ \alpha}{cos\ \alpha}\)

Outras identidades trigonométricas

→ Funções inversas

• Cotangente

A função cotangente é a função inversa da tangente.

\(cot\ \alpha=\ \frac{cos\ \alpha}{sen\ \alpha}\ =\ \frac{1}{tan\ \alpha}\)

• Secante

A função secante é a função inversa da função cosseno:

\(sec\ \alpha\ =\ \frac{1}{cos\ \alpha}\)

• Função cossecante

A função cossecante é a função inversa da função seno:

\(cossec\ \alpha\ =\ \frac{1}{sen\ \alpha}\)

→ Soma e diferença de dois arcos

• Seno da soma: sen(x + y) = sen(x) · cos (y) + sen (y) · cos (x)
• Seno da diferença: sen(x – y) = sen(x) · cos (y) – sen (y) · cos (x)
• Cosseno da soma: cos(x + y) = cos(x) · cos (y) – sen (x) · sen (y)
• Cosseno da diferença: cos(x – y) = cos(x) · cos (y) + sen (x) · sen (y)
• Tangente da soma: \(tg(x+y)=\frac{tg(x)+tg(b)}{1-tg(x)tg(b)}\)
• Tangente da diferença: \(tg(x-y)=\frac{tg(x)-tg(b)}{1+tg(x)tg(b)}\)

Vale ressaltar que, além das apresentadas, existem outras identidades trigonométricas.

Leia também: Razões trigonométricas para o triângulo retângulo

Exercícios resolvidos sobre identidades trigonométricas

Questão 1

Durante um estudo, foi constatado que o ângulo possui seno igual a 0,848 e o cosseno igual a 0,529. Então o valor da tangente desse ângulo é de aproximadamente:

A) 1,60.

B) 1,38.

C) 0,97.

D) 0,62.

E) 0,54.

Resolução:

Alternativa A.

Sabemos que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno do ângulo, então, calculando essa razão, temos que:

\(tgx=\frac{senx}{cosx}\)

\(tgx=\frac{0,848}{0,529}\)

\(tg\ x\ =\ 1,60\)

Questão 2

Um determinado ângulo x possui valor de cosseno igual a \(\frac{\sqrt3}{4}\), então o valor do seno desse ângulo será igual a:

A) \(\sqrt{15}\).
B) \(\sqrt{\frac{2}{3}}\).
C) \(\frac{\sqrt{13}}{4}\).
D) \(\frac{12}{16}\) .
E) \(\frac{1}{4}\).

Resolução:

Alternativa C.

Calculando o seno, temos que:

\(sen^2x+cos^2x=1\)

\(sen^2x+\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^2=1\)

\(s{en}^2x+\frac{3}{16}=1\)

\(sen^2x=1-\frac{3}{16}\)

\(sen^2x=\frac{16-3}{16}\)

\(sen^2x=\frac{13}{16}\)

\(senx=\sqrt{\frac{13}{16}}\)

\(senx=\frac{\sqrt{13}}{4}\)

Fontes:

Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.