Identidades trigonométricas
Identidades trigonométricas são igualdades envolvendo funções trigonométricas. Elas também são conhecidas como transformações trigonométricas.
Alguns exemplos de identidade trigonométrica são a função tangente e a relação fundamental da trigonometria. Existem outras identidades trigonométricas, como as funções secante, cossecante e cotangente.
Leia também: Quais são as funções trigonométricas?
Quais são as identidades trigonométricas?
Existem várias identidades trigonométricas, mas as principais são a função tangente e a relação fundamental da trigonometria.
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Função tangente
A função tangente é igual à razão entre a função seno e a função cosseno para um mesmo ângulo:
\(tan\ \alpha=\frac{sen\ \alpha}{cos\ \alpha}\)
Note que essa identidade torna possível uma relação entre as funções seno, cosseno e tangente para um determinado ângulo.
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Relação fundamental da trigonometria
A relação fundamental da trigonometria é uma aplicação do teorema de Pitágoras para as funções trigonométricas no ciclo trigonométrico. Dessa aplicação surge a identidade que leva o nome de relação fundamental da trigonometria:
\(sen^2\alpha+cos^2\alpha=1\)
Exemplo:
O ângulo x possui valor de seno igual a \(\frac{3}{5}\), então o valor do cosseno e da sua tangente, sabendo que esse ângulo pertence ao primeiro quadrante, são iguais a:
Resolução:
Primeiro calcularemos o valor do cosseno, pois sabemos que:
\(sen^2x+cos^2x=1\)
\(\left(\frac{3}{5}\right)^2+cos^2x=1\)
\(\frac{9}{25}+cos^2x=1\)
\(cos^2x=1-\frac{9}{25}\)
\(cos^2x=\frac{25-9}{25}\)
\(cos^2x=\frac{16}{25}\)
\(cosx=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(cosx=\frac{4}{5}\)
Conhecendo o valor do cosseno e do seno, agora é possível calcular a tangente do ângulo:
\(tgx=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}\)
\(tgx=\frac{3}{4}\)
Demonstração das identidades trigonométricas
Podemos demonstrar tanto a função tangente quanto a relação fundamental da trigonometria recorrendo à representação no ciclo trigonométrico:
O círculo representado na imagem possui raio medindo 1. Note que, ao aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos que:
\(x² + y² = 1\)
Mas note que x é o valor do cosseno do ângulo e y é o valor do seno do ângulo, logo temos que:
\(cos^2\alpha+sen^2\alpha=1\)
Fica demonstrada a relação fundamental da trigonometria.
Utilizando o mesmo raciocínio, podemos demonstrar também que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno do ângulo. Sabemos que a tangente é igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente do ângulo, logo:
\(tg\ \alpha=\ \frac{y}{x}\)
\(tg\ \alpha=\ \frac{sen\ \alpha}{cos\ \alpha}\)
Outras identidades trigonométricas
→ Funções inversas
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Cotangente
A função cotangente é a função inversa da tangente.
\(cot\ \alpha=\ \frac{cos\ \alpha}{sen\ \alpha}\ =\ \frac{1}{tan\ \alpha}\)
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Secante
A função secante é a função inversa da função cosseno:
\(sec\ \alpha\ =\ \frac{1}{cos\ \alpha}\)
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Função cossecante
A função cossecante é a função inversa da função seno:
\(cossec\ \alpha\ =\ \frac{1}{sen\ \alpha}\)
→ Soma e diferença de dois arcos
- Seno da soma: sen(x + y) = sen(x) · cos (y) + sen (y) · cos (x)
- Seno da diferença: sen(x – y) = sen(x) · cos (y) – sen (y) · cos (x)
- Cosseno da soma: cos(x + y) = cos(x) · cos (y) – sen (x) · sen (y)
- Cosseno da diferença: cos(x – y) = cos(x) · cos (y) + sen (x) · sen (y)
- Tangente da soma: \(tg(x+y)=\frac{tg(x)+tg(b)}{1-tg(x)tg(b)}\)
- Tangente da diferença: \(tg(x-y)=\frac{tg(x)-tg(b)}{1+tg(x)tg(b)}\)
Vale ressaltar que, além das apresentadas, existem outras identidades trigonométricas.
Leia também: Razões trigonométricas para o triângulo retângulo
Exercícios resolvidos sobre identidades trigonométricas
Questão 1
Durante um estudo, foi constatado que o ângulo possui seno igual a 0,848 e o cosseno igual a 0,529. Então o valor da tangente desse ângulo é de aproximadamente:
A) 1,60.
B) 1,38.
C) 0,97.
D) 0,62.
E) 0,54.
Resolução:
Alternativa A.
Sabemos que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno do ângulo, então, calculando essa razão, temos que:
\(tgx=\frac{senx}{cosx}\)
\(tgx=\frac{0,848}{0,529}\)
\(tg\ x\ =\ 1,60\)
Questão 2
Um determinado ângulo x possui valor de cosseno igual a \(\frac{\sqrt3}{4}\), então o valor do seno desse ângulo será igual a:
A) \(\sqrt{15}\).
B) \(\sqrt{\frac{2}{3}}\).
C) \(\frac{\sqrt{13}}{4}\).
D) \(\frac{12}{16}\) .
E) \(\frac{1}{4}\).
Resolução:
Alternativa C.
Calculando o seno, temos que:
\(sen^2x+cos^2x=1\)
\(sen^2x+\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^2=1\)
\(s{en}^2x+\frac{3}{16}=1\)
\(sen^2x=1-\frac{3}{16}\)
\(sen^2x=\frac{16-3}{16}\)
\(sen^2x=\frac{13}{16}\)
\(senx=\sqrt{\frac{13}{16}}\)
\(senx=\frac{\sqrt{13}}{4}\)
Fontes:
Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.
