Whatsapp icon Whatsapp

Interseção de reta e circunferência

Uma forma de encontrar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência é verificando a sua intersecção, ou seja, analisando se a reta e a circunferência terão dois pontos em comum, apenas um ponto em comum ou nenhum ponto em comum.

O valor dessa intersecção é a solução do sistema formado com a equação geral da reta e com a equação reduzida da circunferência. Considerando a equação geral da reta ax+by+c = 0 e a equação reduzida da circunferência (x - a)2 + (y - b)2 = R2.

Resolvendo o sistema é possível encontrar uma equação do segundo grau, analisando o seu descriminante Δ é possível determinar a posição da reta em relação à circunferência:

Δ > 0 reta secante à circunferência
Δ = 0 reta tangente à circunferência
Δ < 0 reta externa à circunferência.

Se o discriminante Δ for maior ou igual à zero, para descobrir as coordenadas dos pontos é preciso terminar a resolução da equação do segundo grau.

Exemplo: Verifique se a circunferência (x+1)2 + y2 = 25 e a reta x + y – 6 = 0 possui algum ponto de intersecção.

Resolução:

x + y – 6 = 0 → equação 1
(x+1)2 + y2 = 25 → equação 2

Escolhemos uma das duas equações e isolamos uma das incógnitas.

x + y – 6 = 0
x = 6 – y

Substituímos o valor de x na equação 2.

(6 – y +1)2 + y2 = 25
(-y + 7)2 + y2 = 25
(-y)2 – 14y + 49 + y2 = 25
y2 – 14y + 49 – 25 + y2 = 0
2y2 – 14y + 24 = 0 (: 2)
y2 – 7y + 12 = 0

Δ = b2 – 4ac
Δ = (-7)2 – 4 . 1 . 12
Δ = 49 – 48
Δ = 1

Como o descriminante Δ é maior que zero sabemos que essa reta é secante à circunferência, agora para descobrir o valor das coordenadas dos dois pontos pertencentes à circunferência é preciso terminar de resolver a equação.


Para y’= 4
x = 6 – y
x = 6 – 4
x = 2

Para y’’ = 3
x = 6 – y
x = 6 – 3
x = 3

Portanto, os dois pontos que interceptam a circunferência são: (2,4) e (3,3).
Publicado por Danielle de Miranda
Assista às nossas videoaulas

Artigos Relacionados

Equação geral de retas perpendiculares
Calculando a equação de retas perpendiculares por meio da equação geral da reta e dos coeficientes angulares das retas perpendiculares.
Hipérbole
Entenda o que é hipérbole e conheça suas principais propriedades. Aprenda sua equação geral e sua equação reduzida.
Inclinação e coeficiente angular de uma reta
ângulo, reta, condição de existência da reta, pontos, plano cartesiano, tangente, inclinação da reta, como encontrar a inclinação da reta, coeficiente angular, tangente do ângulo
Ponto médio de um segmento de reta
Veja como determinar o ponto médio de um segmento de reta.
Ângulo formado entre duas retas
Como determinar a medida do ângulo entre duas retas

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.