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Hipérbole

A hipérbole é uma figura plana que é estudada na Geometria Analítica e classificada como cônica, pois pode ser encontrada quando seccionamos um cone.
A hipérbole é classificada como cônica por ser obtida a partir de uma determinada secção do cone.
A hipérbole é classificada como cônica por ser obtida a partir de uma determinada secção do cone.

A hipérbole é uma figura plana estudada na Geometria Analítica. Ela é classifica como cônica por ser obtida a partir de uma determinada secção do cone. Além da hipérbole, existem outras cônicas, que são a elipse, a parábola e a circunferência.

Os principais elementos da hipérbole são os seus focos, a sua excentricidade e o seu centro. Por definição, para que um ponto P pertença a uma hipérbole, o módulo da diferença entre a distância do foco F1 até P e do foco F2 até P é sempre constante, igual a 2a.

Logo, a hipérbole é formada pelos pontos que satisfazem essa definição. Ao representar uma hipérbole no plano cartesiano, é possível obter dados para descrever essa figura por meio de uma equação, a fim de estudá-la de forma algébrica. Esse cálculo é conhecido como equação da hipérbole.

Veja também: Quais são as diferenças entre as figuras planas e as figuras espaciais?

Resumo sobre a hipérbole

  • A hipérbole é uma figura plana classificada como cônica.

  • Ela é obtida a partir de um corte específico feito no cone.

  • Dados F1 e F2 como focos da hipérbole e P um ponto pertencente a ela, temos:

\(\left|dF_1P-DF_2P\right|=2a\)

  • Quando a hipérbole tem os focos no eixo x, sua equação é:

\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

  • Quando a hipérbole tem focos no eixo y, sua equação é:

\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)

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O que é hipérbole?

Hipérbole é a figura obtida a partir de um corte específico feito no cone, por isso, geometricamente, ela também é conhecida como uma cônica.

Secção de um cone duplo.
A hipérbole pode ser obtida a partir da secção de um cone duplo.

De forma analítica, a hipérbole é o lugar geométrico formado pelos pontos em que a diferença entre distância desse ponto a outros dois pontos conhecidos como focos é sempre constante. 

Dados dois pontos distintos no plano cartesiano, F1 e F2, definiremos ambos como focos da hipérbole e 2c como a distância entre eles, também chamada de distância focal. Assim, a hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cartesiano, sendo que o módulo da diferença entre os pontos F1 e F2 é a constante igual a 2a e que 2a < 2c.

Representação de pontos da hipérbole.
Representação de pontos da hipérbole.

\(\left|dF_1P_n-dF_2P_n\right|=2a\)

Elementos da hipérbole

Vejamos, a seguir, os principais elementos de uma hipérbole.

Identificação dos elementos da hipérbole.
Identificação dos elementos da hipérbole.
  • F1 e F2: focos da hipérbole.

  • O: centro da hipérbole.

  • 2c: distância focal (dF1F2).

  • 2a: medida do eixo real (dA1A2).

  • 2b: medida do eixo imaginário (dB1B2).

Em uma hipérbole, podemos relacionar as distâncias a, b e c de forma pitagórica:

Relação pitagórica das distâncias a, b e c em uma hipérbole.

No triângulo retângulo, se aplicarmos o teorema de Pitágoras, podemos perceber uma relação importante:

\(c^2=a^2+b^2\)

Leia também: Elementos de um poliedro — quais são eles?

Equação da hipérbole

No estudo da hipérbole, é comum utilizarmos a representação algébrica da hipérbole por meio de uma equação. Para descrevê-la dessa forma, existem dois casos. Um deles se dá quando os focos da parábola estão no eixo x. O outro ocorre quando os focos da parábola estão no eixo y.

  • 1º caso de equação de hipérbole: com focos no eixo x

A equação da hipérbole com focos sobre o eixo x é a mais comum (caso das hipérboles representadas anteriormente). A sua equação é a seguinte:

\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

  • 2º caso de equação de hipérbole: com focos no eixo y

Veja a seguir uma hipérbole com focos no eixo y:

Hipérbole com focos no eixo y.
Hipérbole com focos no eixo y.

Quando os focos da hipérbole estão no eixo y, sua equação será:

\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)

Como calcular a hipérbole?

Para encontrar a equação da hipérbole, é necessário encontrar os valores de a e b, de acordo com as informações dadas.

  • Exemplo de cálculo de hipérbole

Determine qual é a equação da hipérbole com focos F1(-5, 0) e F2(5, 0) e eixo imaginário igual a 6 unidades.

Resolução:

Analisando os pontos do foco, sabemos que eles estão no eixo x. Assim, a equação dessa hipérbole é uma equação do tipo:

\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

Sabemos que o eixo imaginário possui 6 unidades, portanto, temos:

\(2b=6\)

\(b=\frac{6}{2}\)

\(b=3\)

Com os pontos do foco, sabemos que a distância da origem até o foco é 5 unidades:

c = 5

Para encontrar o valor de a, utilizaremos a relação pitagórica entre essas medidas:

c² = a² + b²

5² = a² + 3²

25 = a² + 9

25 – 9 = a²

16 =

\(b=3\)

a = 4

Conhecendo os valores de a e b, basta substituí-los na equação:

\(\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\)

\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\)

Saiba também: Distância entre dois pontos — a medida do segmento de reta que liga ambos

Exercícios resolvidos sobre hipérbole

Questão 1

Qual é a distância focal da hipérbole descrita pela equação \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}\)?

A) \(\sqrt{34}\)

B) \(2\sqrt{34}\)

C) \(\sqrt{32}\)

D) 2 \(\sqrt{32}\)

E) 25

Resolução:

Alternativa B

Para encontrar a distância focal, é necessário encontrar o valor de c. Pela equação, temos:

\(b^2=16\)

\(b=\sqrt{16}\)

\(b=4\)

Também é possível encontrar o valor de \(a\):

\(a^2=25\)

\(a=\sqrt{25}\)

\(a=5\)

Sabemos que:

\(c^2=a^2+b^2\)

Logo, temos:

\(c^2=4^2+5^2\)

\(c^2=16+25\)

\(c^2=34\)

\(c=\sqrt{34}\)

Como a distância focal é 2c, ela será igual a:

\(2\sqrt34\)

Questão 2

Qual é a equação da hipérbole com focos nos pontos \(\left(\sqrt{13},0\right)\) e \(\left(-\sqrt13,0\right)\) e vértice nos pontos A1(-3,0) e A2(3, 0)?

A) \(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}\)

B) \(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}\)

C) \(\frac{x^2}{13}-\frac{y^2}{9}\)

D) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}\)

E) \(\frac{y^2}{13}+\frac{x^2}{2}\)

Resolução:

Alternativa D

Sabemos que \(a=3\) e que \(c=\sqrt{13}\).

Para encontrar o valor de b, calcularemos:

\(c^2=a^2+b^2\)

\({\sqrt{13}}^2=3^2+b^2\)

\(13=9+b^2\)

\(13-9=b^2\)

\(4=b^2\)

\(b=\sqrt4\)

\(b=2\)

Como essa hipérbole possui focos no eixo x, sua equação é dada por:

\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

\(\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{2^2}=1\)

Assim, a equação da hipérbole será:

\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira
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