Hipérbole
A hipérbole é uma figura plana estudada na Geometria Analítica. Ela é classifica como cônica por ser obtida a partir de uma determinada secção do cone. Além da hipérbole, existem outras cônicas, que são a elipse, a parábola e a circunferência.
Os principais elementos da hipérbole são os seus focos, a sua excentricidade e o seu centro. Por definição, para que um ponto P pertença a uma hipérbole, o módulo da diferença entre a distância do foco F1 até P e do foco F2 até P é sempre constante, igual a 2a.
Logo, a hipérbole é formada pelos pontos que satisfazem essa definição. Ao representar uma hipérbole no plano cartesiano, é possível obter dados para descrever essa figura por meio de uma equação, a fim de estudá-la de forma algébrica. Esse cálculo é conhecido como equação da hipérbole.
Veja também: Quais são as diferenças entre as figuras planas e as figuras espaciais?
Resumo sobre a hipérbole
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A hipérbole é uma figura plana classificada como cônica.
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Ela é obtida a partir de um corte específico feito no cone.
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Dados F1 e F2 como focos da hipérbole e P um ponto pertencente a ela, temos:
\(\left|dF_1P-DF_2P\right|=2a\)
- Quando a hipérbole tem os focos no eixo x, sua equação é:
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
- Quando a hipérbole tem focos no eixo y, sua equação é:
\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)
O que é hipérbole?
Hipérbole é a figura obtida a partir de um corte específico feito no cone, por isso, geometricamente, ela também é conhecida como uma cônica.
De forma analítica, a hipérbole é o lugar geométrico formado pelos pontos em que a diferença entre distância desse ponto a outros dois pontos conhecidos como focos é sempre constante.
Dados dois pontos distintos no plano cartesiano, F1 e F2, definiremos ambos como focos da hipérbole e 2c como a distância entre eles, também chamada de distância focal. Assim, a hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cartesiano, sendo que o módulo da diferença entre os pontos F1 e F2 é a constante igual a 2a e que 2a < 2c.
\(\left|dF_1P_n-dF_2P_n\right|=2a\)
Elementos da hipérbole
Vejamos, a seguir, os principais elementos de uma hipérbole.
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F1 e F2: focos da hipérbole.
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O: centro da hipérbole.
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2c: distância focal (dF1F2).
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2a: medida do eixo real (dA1A2).
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2b: medida do eixo imaginário (dB1B2).
Em uma hipérbole, podemos relacionar as distâncias a, b e c de forma pitagórica:
No triângulo retângulo, se aplicarmos o teorema de Pitágoras, podemos perceber uma relação importante:
\(c^2=a^2+b^2\)
Leia também: Elementos de um poliedro — quais são eles?
Equação da hipérbole
No estudo da hipérbole, é comum utilizarmos a representação algébrica da hipérbole por meio de uma equação. Para descrevê-la dessa forma, existem dois casos. Um deles se dá quando os focos da parábola estão no eixo x. O outro ocorre quando os focos da parábola estão no eixo y.
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1º caso de equação de hipérbole: com focos no eixo x
A equação da hipérbole com focos sobre o eixo x é a mais comum (caso das hipérboles representadas anteriormente). A sua equação é a seguinte:
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
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2º caso de equação de hipérbole: com focos no eixo y
Veja a seguir uma hipérbole com focos no eixo y:
Quando os focos da hipérbole estão no eixo y, sua equação será:
\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)
Como calcular a hipérbole?
Para encontrar a equação da hipérbole, é necessário encontrar os valores de a e b, de acordo com as informações dadas.
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Exemplo de cálculo de hipérbole
Determine qual é a equação da hipérbole com focos F1(-5, 0) e F2(5, 0) e eixo imaginário igual a 6 unidades.
Resolução:
Analisando os pontos do foco, sabemos que eles estão no eixo x. Assim, a equação dessa hipérbole é uma equação do tipo:
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
Sabemos que o eixo imaginário possui 6 unidades, portanto, temos:
\(2b=6\)
\(b=\frac{6}{2}\)
\(b=3\)
Com os pontos do foco, sabemos que a distância da origem até o foco é 5 unidades:
c = 5
Para encontrar o valor de a, utilizaremos a relação pitagórica entre essas medidas:
c² = a² + b²
5² = a² + 3²
25 = a² + 9
25 – 9 = a²
16 = a²
\(b=3\)
a = 4
Conhecendo os valores de a e b, basta substituí-los na equação:
\(\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\)
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\)
Saiba também: Distância entre dois pontos — a medida do segmento de reta que liga ambos
Exercícios resolvidos sobre hipérbole
Questão 1
Qual é a distância focal da hipérbole descrita pela equação \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}\)?
A) \(\sqrt{34}\)
B) \(2\sqrt{41}\)
C) \(\sqrt{32}\)
D) 2 \(\sqrt{32}\)
E) 25
Resolução:
Alternativa B
Logo, temos:
\(c^2=4^2+5^2\)
\(c^2=16+25\)
\(c^2=41\)
\(c = \sqrt{41} \)
Como a distância focal é 2c, ela será igual a:
\(2\sqrt{41} \)
Questão 2
Qual é a equação da hipérbole com focos nos pontos \(\left(\sqrt{13},0\right)\) e \(\left(-\sqrt13,0\right)\) e vértice nos pontos A1(-3,0) e A2(3, 0)?
A) \(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}\)
B) \(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}\)
C) \(\frac{x^2}{13}-\frac{y^2}{9}\)
D) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}\)
E) \(\frac{y^2}{13}+\frac{x^2}{2}\)
Resolução:
Alternativa D
Sabemos que \(a=3\) e que \(c=\sqrt{13}\).
Para encontrar o valor de b, calcularemos:
\(c^2=a^2+b^2\)
\({\sqrt{13}}^2=3^2+b^2\)
\(13=9+b^2\)
\(13-9=b^2\)
\(4=b^2\)
\(b=\sqrt4\)
\(b=2\)
Como essa hipérbole possui focos no eixo x, sua equação é dada por:
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{2^2}=1\)
Assim, a equação da hipérbole será:
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)