Hipérbole

A hipérbole é uma figura plana estudada na Geometria Analítica. Ela é classifica como cônica por ser obtida a partir de uma determinada secção do cone. Além da hipérbole, existem outras cônicas, que são a elipse, a parábola e a circunferência.

Os principais elementos da hipérbole são os seus focos, a sua excentricidade e o seu centro. Por definição, para que um ponto P pertença a uma hipérbole, o módulo da diferença entre a distância do foco F1 até P e do foco F2 até P é sempre constante, igual a 2a.

Logo, a hipérbole é formada pelos pontos que satisfazem essa definição. Ao representar uma hipérbole no plano cartesiano, é possível obter dados para descrever essa figura por meio de uma equação, a fim de estudá-la de forma algébrica. Esse cálculo é conhecido como equação da hipérbole.

Veja também: Quais são as diferenças entre as figuras planas e as figuras espaciais?

Resumo sobre a hipérbole

• A hipérbole é uma figura plana classificada como cônica.

• Ela é obtida a partir de um corte específico feito no cone.

• Dados F₁ e F₂ como focos da hipérbole e P um ponto pertencente a ela, temos:

$\left|dF_1P-DF_2P\right|=2a$

• Quando a hipérbole tem os focos no eixo x, sua equação é:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

• Quando a hipérbole tem focos no eixo y, sua equação é:

$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$

O que é hipérbole?

Hipérbole é a figura obtida a partir de um corte específico feito no cone, por isso, geometricamente, ela também é conhecida como uma cônica.

De forma analítica, a hipérbole é o lugar geométrico formado pelos pontos em que a diferença entre distância desse ponto a outros dois pontos conhecidos como focos é sempre constante. 

Dados dois pontos distintos no plano cartesiano, F₁ e F₂, definiremos ambos como focos da hipérbole e 2c como a distância entre eles, também chamada de distância focal. Assim, a hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cartesiano, sendo que o módulo da diferença entre os pontos F₁ e F₂ é a constante igual a 2a e que 2a < 2c.

$\left|dF_1P_n-dF_2P_n\right|=2a$

Elementos da hipérbole

Vejamos, a seguir, os principais elementos de uma hipérbole.

• F₁ e F₂: focos da hipérbole.

• O: centro da hipérbole.

• 2c: distância focal (dF₁F₂).

• 2a: medida do eixo real (dA₁A₂).

• 2b: medida do eixo imaginário (dB₁B₂).

Em uma hipérbole, podemos relacionar as distâncias a, b e c de forma pitagórica:

No triângulo retângulo, se aplicarmos o teorema de Pitágoras, podemos perceber uma relação importante:

$c^2=a^2+b^2$

Leia também: Elementos de um poliedro — quais são eles?

Equação da hipérbole

No estudo da hipérbole, é comum utilizarmos a representação algébrica da hipérbole por meio de uma equação. Para descrevê-la dessa forma, existem dois casos. Um deles se dá quando os focos da parábola estão no eixo x. O outro ocorre quando os focos da parábola estão no eixo y.

• 1º caso de equação de hipérbole: com focos no eixo x

A equação da hipérbole com focos sobre o eixo x é a mais comum (caso das hipérboles representadas anteriormente). A sua equação é a seguinte:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

• 2º caso de equação de hipérbole: com focos no eixo y

Veja a seguir uma hipérbole com focos no eixo y:

Quando os focos da hipérbole estão no eixo y, sua equação será:

$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$

Como calcular a hipérbole?

Para encontrar a equação da hipérbole, é necessário encontrar os valores de a e b, de acordo com as informações dadas.

• Exemplo de cálculo de hipérbole

Determine qual é a equação da hipérbole com focos F₁(-5, 0) e F₂(5, 0) e eixo imaginário igual a 6 unidades.

Resolução:

Analisando os pontos do foco, sabemos que eles estão no eixo x. Assim, a equação dessa hipérbole é uma equação do tipo:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Sabemos que o eixo imaginário possui 6 unidades, portanto, temos:

$2b=6$

$b=\frac{6}{2}$

$b=3$

Com os pontos do foco, sabemos que a distância da origem até o foco é 5 unidades:

c = 5

Para encontrar o valor de a, utilizaremos a relação pitagórica entre essas medidas:

c² = a² + b²

5² = a² + 3²

25 = a² + 9

25 – 9 = a²

16 = a²

$b=3$

a = 4

Conhecendo os valores de a e b, basta substituí-los na equação:

$\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$

$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}$

Saiba também: Distância entre dois pontos — a medida do segmento de reta que liga ambos

Exercícios resolvidos sobre hipérbole

Questão 1

Qual é a distância focal da hipérbole descrita pela equação $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}$?

A) $\sqrt{34}$

B) $2\sqrt{41}$

C) $\sqrt{32}$

D) 2 $\sqrt{32}$

E) 25

Resolução:

Alternativa B

Logo, temos:

$c^2=4^2+5^2$

$c^2=16+25$

$c^2=41$

$c = \sqrt{41}$

Como a distância focal é 2c, ela será igual a:

$2\sqrt{41}$

Questão 2

Qual é a equação da hipérbole com focos nos pontos $\left(\sqrt{13},0\right)$ e $\left(-\sqrt13,0\right)$ e vértice nos pontos A₁(-3,0) e A₂(3, 0)?

A) $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}$

B) $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}$

C) $\frac{x^2}{13}-\frac{y^2}{9}$

D) $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$

E) $\frac{y^2}{13}+\frac{x^2}{2}$

Resolução:

Alternativa D

Sabemos que $a=3$ e que $c=\sqrt{13}$.

Para encontrar o valor de b, calcularemos:

$c^2=a^2+b^2$

${\sqrt{13}}^2=3^2+b^2$

$13=9+b^2$

$13-9=b^2$

$4=b^2$

$b=\sqrt4$

$b=2$

Como essa hipérbole possui focos no eixo x, sua equação é dada por:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

$\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{2^2}=1$

Assim, a equação da hipérbole será:

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$