Whatsapp icon Whatsapp

Equação da hipérbole

No estudo da geometria analítica, as diversas figuras geométricas são estudadas do ponto de vista algébrico. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra. As cônicas, que são figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas. Vejamos como a hipérbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analítica.

Definição de hipérbole: Considere F1 e F2 como sendo dois pontos distintos do plano e 2c a distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).
A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equação varia em cada um dos casos. Vamos deduzir sua equação para cada um dos casos citados.

Hipérbole com focos sobre o eixo x.

Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:

 

Hipérbole com focos sobre o eixo y.

 

Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:

Elementos e propriedades da hipérbole:
2c → é a distância focal.
c2 = a2 + b2 → relação fundamental.
A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole.
2a → é a medida do eixo real.
2b → é a medida do eixo imaginário.
c/a → é a excentricidade

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades.
Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10.

Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que:
2a = 16 → a = 8

Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que:
c2 = a2 + b2
102 = 82 + b2
b2 = 100 – 64
b2 = 36
b = 6

Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x:

Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação:

Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c).
Da equação da hipérbole obtemos que:
a2 = 16 → a = 4
b2 = 9 → b = 3
Utilizando a relação fundamental, teremos:
c2 = a2 + b2
c2 = 16 + 9
c2 = 25
c = 5
Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5).

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática

Publicado por Marcelo Rigonatto
Assista às nossas videoaulas

Artigos Relacionados

Baricentro do triângulo ABC.
Baricentro de um triângulo
Entenda o que é o baricentro de um triângulo e aprenda como encontrá-lo quando representado no plano cartesiano. Resolva as questões referentes ao tema.
Cálculo do coeficiente angular
ângulo, reta, condição de existência da reta, pontos, plano cartesiano, tangente, inclinação da reta, como encontrar a inclinação da reta, coeficiente angular, tangente do ângulo, cálculo do coeficiente angular.
Cônicas: intersecções entre um plano e um cone
Cônicas
Aprenda o que são cônicas, figuras geométricas formadas pela intersecção de um plano com um cone de revolução. Descubra também quais são as figuras elipse, hipérbole e parábola. Conheça ainda as equações reduzidas de cada uma das cônicas nos casos em que os focos estejam sobre o eixo x ou no eixo y.
Elipse
Aprenda o que é uma elipse e saiba quais são seus elementos. Veja qual é a equação dessa figura assim como sua fórmula para o cálculo da área.
Equação reduzida da reta
Conheça a equação reduzida da reta, aprenda a encontrá-la, bem como entenda o que é o coeficiente linear e o que é o coeficiente angular.
Inclinação e coeficiente angular de uma reta
ângulo, reta, condição de existência da reta, pontos, plano cartesiano, tangente, inclinação da reta, como encontrar a inclinação da reta, coeficiente angular, tangente do ângulo
Interseção de reta e circunferência
distância entre ponto e reta, Posições relativas entre uma reta e uma circunferência, circunferência, reta, reta externa à circunferência, reta interna à circunferência, reta secante à circunferência.
Ponto médio de um segmento de reta
Veja como determinar o ponto médio de um segmento de reta.
Posição relativa entre ponto e circunferência
distância entre dois pontos, distância entre ponto e reta, Posições relativas entre um ponto e uma circunferência, circunferência, reta, ponto comparado à circunferência, ponto externo à circunferência, ponto interno à circunferência, ponto pertencente à circunferência.
Posições relativas de duas retas
Retas, retas paralelas, retas concorrentes, o que são retas paralelas, o que são retas concorrentes, Posições relativas de duas retas, coeficiente angular de retas paralelas, coeficiente angular de retas concorrentes.
Ângulo formado entre duas retas
Como determinar a medida do ângulo entre duas retas
video icon
Português
Como fazer ótimos títulos na redação?
Como é possível fazer bons títulos? Nesta aula, o professor Guga Valente vai apresentar ótimas ideias e dar dicas de como conseguir nomear bem seus textos.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
videoaula brasil escola
Química
Cinética química
Se ainda tem dúvidas quanto a velocidade das reações, essa videoaula é para você!
video icon
videoaula brasil escola
Português
Redação
Entenda como realizar argumento por causa e consequência com a nossa aula.
video icon
videoaula brasil escola
História
Crise de 1929
A quebra da bolsa de valores de Nova Iorque afetou não só os EUA, como o mundo. Entenda!