Mínimo Múltiplo Comum de Polinômio

O mínimo múltiplo comum de números naturais ou de polinômios será encontrado através da comparação dos fatores de cada fatoração, ou seja, o mmc de um número natural ou de um polinômio é a multiplicação dos fatores sem repetir os comuns, levando em consideração os de maior expoente.


Exemplo: Ao calcularmos o mmc de 8 e 18 é preciso fatorar o 8 e o 18 em fatores primos, ficando da seguinte forma:

8 = 2 * 2 * 2 = 2³. Sendo 2³ o único fator dessa fatoração.

18 = 2 * 3 * 3 = 2 * 3². Sendo 2 e 32 os fatores dessa fatoração.

Os fatores comum são 2³ e 2, dessa forma consideramos o 2³. Assim, o mmc de 8 e 18 será igual a 2³ * 3² = 72.

Exemplo: mmc de 9xy e 12 xy². Fatoramos separadamente cada monômio.

9xy = 3² * x * y. Sendo 3² e x e y os fatores dessa fatoração.

12xy² = 2² * 3 * x * y². Sendo 2² e 3 e x e y² os fatores dessa fatoração.

Os fatores comum são 3² e 3, x e x, y e y², seguindo a regra iremos considerar 3², x, y².
Dessa forma, podemos dizer que o mmc de 9xy e 12xy² é igual a 3² * 2² * x * y² = 36xy².

Exemplo: mmc de x² + 1 e x² – 2x + 1. Fatoramos separadamente cada polinômio.

x² – 1 = (x + 1) * (x – 1)

x² – 2x + 1 = (x – 1)²

Os fatores comum são (x – 1)² e (x – 1), seguindo a regra iremos considerar (x – 1)². Dessa forma, podemos dizer que o mmc de x² + 1 e x² – 2x + 1 é igual a (x + 1) * (x –1)².

A utilização do MMC de polinômios está diretamente ligada às resoluções de equações fracionárias algébricas, pois esse tipo de equação traz em seu denominador monômios, binômios, trinômios ou polinômios. Dessa forma, se uma equação fracionária algébrica apresentar denominadores diferentes, utilizaremos o MMC de polinômios. Observe uma aplicação do mmc de polinômios na resolução de uma equação.

Exemplo 1

   3     =    2   
2x – 1   x – 1

mmc = (2x – 1)(x – 1)

   3(x – 1)      =    2(2x – 1)   
(2x – 1)(x – 1)   (2x – 1)(x – 1)

3x – 3 = 4x – 4

4x – 3x = – 4 + 3

x = – 1

Exemplo 2

   2    =   1    –    3   
x² – 1   x + 1   x – 1

        2         =     1    –    3   
(x + 1)(x – 1)    x + 1    x – 1

        2        =       x – 1      –      3(x – 1)   
(x + 1)(x – 1)    (x + 1)(x – 1)    (x + 1)(x – 1)

2 = x – 1 – 3x – 3

3x – x = – 1 – 3 – 2

2x = – 6

x = – 6
         2

x = – 3