Posição relativa entre ponto e circunferência

O ponto comparado à circunferência pode assumir três posições diferentes, pode ser: externo à circunferência, interno à circunferência ou pertencer à circunferência.

Antes é preciso saber o que é uma circunferência, veja o desenho abaixo que distingue círculo de circunferência:



Portanto, circunferência é o contorno de um círculo. E podemos dizer que no círculo e fora dele e na própria circunferência existem infinitos pontos.

• Ponto externo à circunferência



Podemos concluir que nesse caso o raio é menor que a distância do ponto A ao centro da circunferência.

Então, como d_CA > R podemos escrever: (x_A – a)² + (y_A – b) > R²

• Ponto interno à circunferência



Podemos concluir que nesse caso o raio é maior que a distância do ponto A ao centro da circunferência.

Então, como d_CA < R podemos escrever: (x_A – a)² + (y_A – b) < R²

• Ponto pertence à circunferência



Podemos concluir que nesse caso o raio é igual à distância do ponto A ao centro da circunferência.

Então, como d_CA = R podemos escrever: (x_A – a)² + (y_A – b) = R²

Exemplo: Verifique qual a posição dos pontos P(0,0); Q(1,-4); R(-2,-5) em relação à circunferência de equação x² + y² + 2x + 8y + 13 = 0

Deve-se transformar essa equação normal em reduzida.

x² + y² + 2x + 8y + 13 = 0
x² + 2x + y² + 8y = -13
(x² + 2x + 1) + (y² + 8y + 16) = -13 + 1 +16
(x + 1)² + (y + 4)² = 4

Agora, com essa equação reduzida da circunferência, iremos substituir cada ponto os termos de x e y.

• P(0,0)
(0+ 1)² + (0 + 4)² = 4
1² + 4² = 4
1 + 16 = 4
17 > 4

Portanto, o ponto P é externo à circunferência

• Q(1,-4)
(1+ 1)² + ((-4) + 4)² = 4
2² + 0² = 4
4 = 4

Portanto, o ponto Q pertence à circunferência.

• R(-2,-5)
((-2)+ 1)² + ((-5) + 4)² = 4
(-1)² + (-1)² = 4
1 + 1 = 4
2 < 4

Portanto, o ponto R é interno à circunferência.