Probabilidade condicional

Probabilidade condicional refere-se à probabilidade de um evento ocorrer com base em um evento anterior. Evidentemente, esses dois eventos precisam ser conjuntos não vazios pertencentes a um espaço amostral finito.

Em um lançamento simultâneo de dois dados, por exemplo, obtêm-se números em suas faces superiores. Qual é a probabilidade de que a soma desses números seja 8, desde que ambos os resultados sejam ímpares?

Veja que a probabilidade de a soma desses números ser 8 está condicionada a resultados ímpares nos dois dados. Logo, lançamentos que apresentam um ou dois números pares na face superior podem ser descartados e, por isso, há uma redução no espaço amostral.

O novo espaço amostral é composto pelos pares:

{1,1}; {1,3}; {1,5}; {3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5}

Desses, apenas {3,5} e {5,3} possuem soma 8. Logo, a probabilidade de que se obtenha soma 8 no lançamento de dois dados, dado que os resultados obtidos são ambos ímpares, é de:

2
9

Fórmula da probabilidade condicional

Seja K um espaço amostral que contém os eventos A e B não vazios. A probabilidade de A acontecer, dado que B já aconteceu, é representada por P(A|B) e é calculada pela seguinte expressão:

P(A|B) = P(A∩B)
             P(B)

Caso seja necessário calcular a probabilidade da intersecção entre dois eventos, pode-se utilizar a seguinte expressão:

P(A∩B) = P(A|B)·P(B)

Exemplos

Calcule a probabilidade de obter soma 8 no lançamento de dois dados em que o resultado do lançamento foi dois números ímpares.

Solução:

Seja A = Obter soma 8 e B = Obter dois números ímpares.

P(A∩B) é a probabilidade de se obter apenas números ímpares que somam 8 no lançamento de dois dados. As únicas combinações das 36 possíveis são:

{3,5} e {5,3}

Portanto,

P(A∩B) = 2
               36

Já P(B) é a probabilidade de obter somente números ímpares no lançamento de dois dados. As únicas combinações dentro das 36 possíveis são:

{1,1}; {1,3}; {1,5}; {3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5}

Logo,

P(B) = 9
          36

Utilizando a fórmula para probabilidade condicional, teremos:

P(A|B) = P(A∩B)
             P(B)

               2 
P(A|B) =     36    
               9  
             36

P(A|B) = 2 · 36
            36   9

P(A|B) = 2
             9

Qual é a probabilidade de extrair uma carta de um baralho comum de 52 cartas e obter um Ás, sabendo que ela é uma carta de copas?

Solução:

A = Obter um Ás

B = Obter uma carta de copas

Como só existe um ás de copas no baralho,

P(A∩B) = 1
               52

A probabilidade de se obter uma carta de copas é:

P(B) = 13
           52

Então, a probabilidade de se obter um às de copas é:

P(A|B) = P(A∩B)
             P(B)

                1   
P(A|B) =      52     
                  13     
             52

P(A|B) =  1 · 52
             52  13

P(A|B) = 1
             13