Propriedades das Proporções

A razão entre dois números é dada pela divisão desses números, por exemplo, a razão entre a e b é dada por ^a/_b. Quando estabelecemos uma relação de igualdade entre duas razões, temos uma proporção. Suponha a seguinte proporção:

  a   =   c  
b        d

Essa proporção pode ser expressa da seguinte forma:

a : b = c : d

Os itens em vermelho são classificados como extremos e os itens em azul são os meios.

Temos então a Propriedade Fundamental das Proporções, que nos garante que “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”. Essa propriedade é comumente chamada de multiplicação cruzada. Vejamos:

  a   =    c  
b         d

a.d = b.c

Mas além dessa, temos outras propriedades que podem nos ajudar muito a resolver problemas com proporções, são elas:

a) Trocar os extremos

   a    =    c    ←→    d    =     c   
 b          d              b           a

a.d = b.c ←→ d.a = b.c

b) Trocar os meios

   a    =     c    ←→    a    =    b   
 b          d               c          d

a.d = b.c ←→ a.d = c.b

c) Inverter as duas razões

   a    =     c    ←→     c    =     d   
 b           d               a           b

a.d = b.c ←→ c.b = a.d

d) Trocar a posição das duas razões

   a    =    c    ←→    c    =    a   
 b          d              d          b

a.d = b.c ←→ c.b = d.a

A partir dessas propriedades das proporções, chegamos a duas importantes relações entre razões:

   a    =    c   ←→    a + c    =    a    ou    a + c   =    c   
 b          d             d + b          b           d + b         b

   a    =    c   ←→    a – c   =    a    ou    a – c    =    c   
 b          d             d – b         b            d – b         b

Exemplos:

1. Se    x    =    y    e x + y = 15, calcule o valor de x e de y.
            4          6

   a    =    c    ←→    a + c    =    a   
 b          d              d + b          b

Temos a seguinte proporção

  x   =    y  
4         6

Aplicando a propriedade destacada, temos:

   x + y   =    x  
 6 + 4         4

Mas nós temos a informação de que x + y = 15, substituindo x + y na proporção anterior, temos:

  15  =    x  
 10        4

Aplicando a Propriedade Fundamental das Proporções, temos que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, portanto:

15.4 = x.10

x.10 = 15.4

x.10 = 60

x = 60
      10
x = 6

2. Vamos resolver a proporção da imagem inicial do texto? Para resolvê-la, aplicaremos a Propriedade Fundamental das Proporções.

   10    =   12  
x + 10      2x

10 . 2x = 12. ( x + 10 )

20x = 12x + 120

20x – 12x = 120

8x = 120

x = 120
       8
x = 15