Proporção

Proporção é um conceito de Matemática Básica muito útil na própria Matemática e em outras áreas de conhecimento, como a Física e a Química, além da busca de medidas proporcionais na área da Arte. Ao falar de proporção, estamos falando de comparação, então, entendemos como proporção a classificação da comparação entre duas ou mais grandezas, que podem ser:

• diretamente proporcionais;

• inversamente proporcionais;

• não proporcionais.

Mesmo que tenham relação, as grandezas podem relacionar-se de forma não proporcional. A proporção é utilizada para calcular valores desconhecidos por meio de uma razão, que acaba sendo resolvida por equações e regra de três.

Razão e proporção

A proporção está intimamente ligada com a razão. Para verificação de uma proporcionalidade, ou seja, se as grandezas são proporcionais ou não, devemos fazer uma igualdade de duas razões. Se essas razões forem iguais, os valores serão proporcionais.

Exemplo:

Verifique se os retângulos a seguir são proporcionais:

Ao comparar os lados dos retângulos a partir de uma razão, temos que:

Substituindo os valores, temos que:

Escrevendo as frações irredutíveis, simplificando por 6 a primeira e por 8 a segunda, podemos verificar que elas representam frações proporcionais, pois possuem como resultado o mesmo valor:

Como elas representam a mesma fração quando simplificadas, significa que elas são proporcionais. Note que essa noção pode vir de forma intuitiva também, pois o retângulo menor tem lados que medem a metade do retângulo maior. É a partir da ideia de proporção que surge, na geometria plana, o conceito de semelhança, de ampliação e de redução da imagem. A divisão 6:12 = 8:16 = 0,5 gera o resultado que chamamos de coeficiente de proporcionalidade.

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Propriedades da proporção

Existem propriedades importantes para as proporções. É importante ressaltar que, ao representar números como fração, as propriedades de frações também são válidas e, muitas vezes, são apresentadas como propriedades da proporção.

• 1ª propriedade: propriedade fundamental das proporções

A partir dessa propriedade, é possível verificar se as razões são proporcionais ou não. Essa propriedade é enunciada também como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. De forma algébrica, isso seria representado assim:

Dizer que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos é o mesmo que realizar a multiplicação cruzada dos termos. Se a igualdade for verdadeira, as razões serão proporcionais, caso contrário, não serão proporcionais.

• 2ª propriedade

Essa propriedade diz que, se temos duas razões proporcionais, a soma dos numeradores e dos denominadores gera uma terceira razão, que também é proporcional às duas primeiras.

Exemplo:

• 3ª propriedade

Essa propriedade diz que, se temos duas razões proporcionais, a diferença dos numeradores e dos denominadores gera uma terceira razão, que também é proporcional às duas primeiras.

Exemplo:

• 4ª propriedade

A soma do numerador com o denominador dividida pelo numerador da primeira razão é igual à soma do numerador com o denominador dividida pelo numerador da segunda.

Considerando as razões:

Essa propriedade diz que:

Exemplo:

Sabemos que as razões a seguir são proporcionais:

Sendo assim, temos que:

Pela 4ª propriedade, as novas razões também são proporcionais:

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Como calcular uma proporção?

Utilizamos a relação entre as grandezas para prever resultados por meio de regra de três e das propriedades da proporção. Para isso, é necessário avaliar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Vale ressaltar que só é possível encontrar valores desconhecidos por esse método quando houver proporção.

• Grandezas diretamente proporcionais

Em grandezas diretamente proporcionais, à medida que uma dessas grandezas aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção. Existem várias situações no nosso cotidiano que envolvem grandezas diretamente proporcionais. Um exemplo é a relação preço e peso na compra de uma determinada verdura: quanto menor a quantidade, menor o preço e, quanto maior a quantidade, maior também o preço.

Exemplo:

Para revitalização de um parque, a comunidade organizou-se em um projeto conhecido como “Revitalizar”. Para que o projeto fosse eficiente, foram arrecadadas várias mudas frutíferas. Um planejamento para o plantio foi feito: 3 pessoas trabalhavam nesse plantio e plantavam por dia 5 m². Devido à necessidade de um plantio mais eficiente, mais 4 pessoas, todas com o mesmo desempenho, comprometeram-se a participar da causa e dedicar-se a essa atividade. Sendo assim, qual será a quantidade de m² reflorestada por dia?

Resolução:

• As grandezas são pessoas e a área reflorestada;

• Inicialmente havia 3 pessoas e, depois, passou a ser 7 pessoas;

• Inicialmente eram 5 m² de plantio por dia, mas não sabemos a quantidade de m² que será cultivada pelas 7 pessoas, então vamos representá-la por x.

Agora é fundamental a comparação entre as duas grandezas. À medida que se aumenta o número de pessoas, a quantidade de m² que será reflorestada por dia também aumenta, logo essas grandezas são diretamente proporcionais.

Quando as grandezas são diretamente proporcionais, basta multiplicar os valores da tabela de forma cruzada, gerando a equação:

Acesse também: Unidades de medida de comprimento

• Grandezas inversamente proporcionais

À medida que uma dessas grandezas aumenta, a outra grandeza diminui na mesma proporção. Um exemplo dessa situação no nosso cotidiano é a relação entre velocidade e tempo. Quanto maior a velocidade para percorrer determinado percurso, menor será o tempo.

Exemplo:

Para a confecção das provas de um concurso, uma gráfica dispunha de 15 impressoras que demorariam 18 horas para realizar a impressão de todas as provas. Ao preparar para iniciar o trabalho, foi diagnosticado que só havia 10 impressoras funcionando. Qual é o tempo em horas que será gasto para a confecção de todas as provas do concurso?

Resolução:

As grandezas são a quantidade de impressoras e o tempo.

Analisando as duas grandezas, é notório que, se a quantidade de impressoras diminuir, consequentemente o tempo para fazer as impressões aumentará, logo essas grandezas são inversamente proporcionais.

Quando as grandezas são inversamente proporcionais, é necessário inverter a fração (trocar numerador e denominador) de uma das frações para posteriormente multiplicar cruzado.

ATENÇÃO: Quando as grandezas são inversamente proporcionais, sempre invertemos uma das razões e multiplicamos cruzado, detalhe esquecido durante muitas resoluções de problemas e que faz muitos estudantes errarem ao esquecer a análise do tipo de proporcionalidade (direta ou inversa) que o problema está trabalhando.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Enem 2010) A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre:

• resistência (R) e comprimento (l), dada a mesma secção transversal (A);

• resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo comprimento (l);

• comprimento (l) e área da secção transversal (A), dada a mesma resistência (R).

Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando a representação a seguir:

A figura mostra que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (ℓ), resistência (R) e área da secção transversal (A) e entre comprimento (ℓ) e área da secção transversal (A) são, respectivamente:

a) direta, direta e direta.

b) direta, direta e inversa.

c) direta, inversa, direta.

d) inversa, direta e direta.

e) inversa, direta e inversa.

Resolução

1- Na primeira imagem, dobra-se a resistência, quando isso acontece, o comprimento também dobra, logo elas são diretamente proporcionais;

2 – Na segunda imagem, ao dobrar a área da secção transversal, a resistência divide-se por dois, logo elas são inversamente proporcionais;

3 – Na terceira imagem, ao dobrar a área da secção transversal, o comprimento também é dobrado, logo as grandezas são diretamente proporcionais.

Resposta: letra c.

Questão 2- (Enem 2012) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas.

Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de:

a) 12 kg

b) 16 kg

c) 24 kg

d) 36 kg

e) 75 kg

Resolução:

Sabendo que as grandezas são proporcionais,

Pelo princípio fundamental da proporção, multiplicando cruzado, teremos que:

Resposta: letra a.