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Propriedades do triângulo isósceles

Triângulos são isósceles quando possuem dois lados iguais. Quando essa é a hipótese, algumas propriedades interessantes podem ser observadas.

Os triângulos são figuras geométricas planas constituídas por três lados, três ângulos e três vértices. Eles podem ser classificados com relação aos seus ângulos ou com relação aos seus lados. Apelidar um triângulo de isósceles sugere que esse triângulo foi classificado utilizando seus lados como parâmetro. Um triângulo que possui dois lados com medidas iguais recebe o nome de triângulo isósceles. O lado restante, que não foi observado ou que é diferente, é comumente chamado de base.

De posse dessas informações, observemos o triângulo abaixo, cujos lados AC e BC têm a mesma medida. AC = BC = 5,2 e a base é o lado AB. Acompanhe o passo a passo a seguir:

Desenhamos a mediana CD do triângulo ABC. Os segmentos AD e DB formados por essa mediana são congruentes e ela (a mediana) divide ABC em dois novos triângulos: ACD e BCD.

Observe que esses dois triângulos possuem certas semelhanças entre si:

1- Os lados CB do triângulo BCD e AC do triângulo ACD são iguais;

2- Os lados CD do triângulo ACD e CD do triângulo BCD são iguais

3- E os lados AD e DB dos respectivos triângulos também são iguais.

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Isto configura o caso Lado Lado Lado (LLL) de congruência de triângulos e, por este motivo, os triângulos ACD e BCD são congruentes.

As consequências desse estudo são as duas propriedades seguintes:

1- Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes

Para verificar essa propriedade basta lembrar que os triângulos ACD e BCD são congruentes e os ângulos da base, “f” e “g”, são também congruentes por serem correspondentes.

2- A altura de um triângulo isósceles, relativa à base, é também mediana e bissetriz

Desenhe a altura do triângulo isósceles ABC. Repare que:

1- O lado CD é comum aos dois triângulos;

2- O ângulo formado pela altura é de 90 graus tanto para ACD quanto para BCD e

3- Os ângulos “f” e “g” são iguais pela propriedade anterior.

Estas três informações configuram o caso Lado Ângulo Ângulo oposto (LAAo), por isso, os triângulos ACD e BCD são congruentes. Logo, CD é bissetriz além de altura, pois os ângulos “c” e “d” são iguais e CD é mediana pois os segmentos AD e BD são iguais.

Triângulos isósceles: dois lados com a mesma medida
Triângulos isósceles: dois lados com a mesma medida
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
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Lista de Exercícios

Questão 1

Considere o triângulo ABC, onde os ângulos a e b são iguais. Mostre que esse triângulo é isósceles.

Questão 2

Mostre que a altura de um triângulo equilátero é também mediana e bissetriz:

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