Congruência de triângulos
![Dois triângulos isósceles congruentes e as suas relações de congruência. Dois triângulos isósceles congruentes e as suas relações de congruência.](https://static.mundoeducacao.uol.com.br/mundoeducacao/2021/06/dois-triangulos-isosceles-congruentes-e-as-suas-relacoes-de-congruencia.jpg)
Conhecemos dois triângulos como triângulos congruentes quando eles possuem todas as medidas iguais, tanto para os ângulos quanto para os lados. Para identificar se dois triângulos são congruentes, analisamos o que conhecemos como casos de congruência de triângulo. São conhecidos quatro casos de congruência de triângulo:
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Lado, Lado, Lado (L, L, L);
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Lado, Ângulo, Lado (LAL);
-
Ângulo, Lado, Ângulo (ALA);
-
Lado, Ângulo, Ângulo oposto (LAAo).
Leia também: Triângulo retângulo – o triângulo que apresenta um lado medindo 90°
Resumo sobre congruência de triângulos
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Dois triângulos são congruentes, quando, ao compará-los, os ângulos internos e os lados possuem as mesmas medidas.
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Existem quatro casos possíveis para identificarmos se os triângulos são semelhantes, são eles:
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Lado, Lado, Lado (LLL): se os lados forem congruentes, então, os triângulos são congruentes;
-
Lado, Ângulo, Lado (LAL): se dois lados e o ângulo formado entre esses lados são congruentes, então, os triângulos são congruentes;
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Ângulo, Lado, Ângulo (ALA): se dois ângulos são congruentes e o lado que está entre eles também é congruente, então, esses triângulos são congruentes.
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Lado, Ângulo, Ângulo oposto (LAAo): se um lado é congruente, o ângulo adjacente a esse lado e o ângulo oposto a esse lado são congruentes, então, os triângulos são congruentes.
-
O que são triângulos congruentes?
Definimos dois triângulos como congruentes quando é possível perceber uma correspondência de igualdade entre as medidas dos lados e dos ângulos desses triângulos, ou seja, dois triângulos são congruentes quando os lados e ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas.
![Triângulo isósceles ABC congruente ao triângulo DEF.](https://static.mundoeducacao.uol.com.br/mundoeducacao/2021/06/2-triangulos-congruentes.jpg)
Analisando a imagem, os triângulos são congruentes pelo fato de os lados e ângulos correspondentes possuírem as mesmas medidas.
Analisando os lados, temos que:
AB = DE
AC = DF
EF = BC
Quando analisamos os ângulos, temos que:
Como todas as medidas são congruentes, então, esses triângulos são congruentes, assim, utilizamos a seguinte notação para representar essa congruência: ΔABC ≡ ΔDEF (lê-se: triângulo a, b, c é congruente ao triângulo d, e, f)
Observação: quando utilizamos essa notação, a ordem dos vértices é relevante. Quando escrevemos dessa maneira, significa que o vértice A é correspondente ao vértice D, que o vértice B corresponde ao vértice E, e que o vértice C é correspondente ao vértice F.
Veja também: Como estudar geometria para o Enem?
Casos de congruência de triângulos
Para identificar se os triângulos são congruentes, não precisamos comparar todos os seus ângulos e lados, pois existem o que conhecemos como casos de congruência, em que três elementos são o suficiente para dizermos se os triângulos são congruentes. Existem quatro casos de congruência, são eles:
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1º caso de congruência: Lado, Lado, Lado (LLL)
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2ºcaso de congruência: Lado, Ângulo, Lado (LAL)
-
3º caso de congruência: Ângulo, Lado, Ângulo (ALA)
-
4º caso de congruência: Lado, Ângulo, Ângulo oposto (LAAo)
→ 1º caso de congruência
Ao comparar dois triângulos, se as medidas dos três lados de um deles forem congruentes às medida dos três lados do outro triângulo, então, essa condição é o suficiente para afirmarmos que esses triângulos são congruentes.
![Dois triângulos com lados congruentes.](https://static.mundoeducacao.uol.com.br/mundoeducacao/2021/06/primeiro-caso-congruencia.jpg)
Ao analisar os lados, temos que:
AB = DE
AC = DF
BC = EF
Como os três lados são congruentes, então, esses triângulos são congruentes pelo caso (LLL).
ΔABC ≡ ΔDEF
→ 2º caso de congruência
Dados dois triângulos, se, ao comparar a medida dos lados e dos ângulos, caso haja um lado, um ângulo e um lado congruentes, então, podemos afirmar que esses dois triângulos são congruentes. É importante que a ordem seja respeitada, então, nesse caso, o ângulo precisa estar necessariamente entre os dois lados.
![Dois triângulos congruentes com um ângulo e dois lados iguais.](https://static.mundoeducacao.uol.com.br/mundoeducacao/2021/06/segundo-caso-de-congruencia.jpg)
Analisando os dois triângulos, temos que:
AB = A1B1
 = Â1
AC = A1C1
Então, esses triângulos são congruentes pelo caso (LAL).
ΔABC ≡ ΔA1B1C1
→ 3º caso de congruência
Comparando dois triângulos, se dois ângulos são congruentes e o lado que está entre esses ângulos também é congruente, então, esses triângulos são congruentes. Assim como no caso anterior, a ordem é importante, ou seja, o lado congruente tem que estar entre os dois ângulos.
![Dois triângulos retângulos congruentes que apresentam um lado e dois ângulos iguais.](https://static.mundoeducacao.uol.com.br/mundoeducacao/2021/06/terceiro-caso-de-congruencia.jpg)
Quando comparamos esses triângulos, temos que:
AB = DE
Eles estão entre os ângulos de 45º e 90º nos dois triângulos, logo, eles são congruentes pelo caso ALA. Assim:
ΔABC ≡ ΔDEF
→ 4º caso de congruência
Ao compararmos dois triângulos quando eles possuem um lado, um ângulo adjacente a esse lado e um ângulo oposto a esse lado congruentes, sabemos, desse modo, que os triângulos são congruentes.
![Dois triângulos congruentes com as mesmas medidas de um lado, do ângulo adjacente ao lado e do ângulo oposto.](https://static.mundoeducacao.uol.com.br/mundoeducacao/2021/06/quarto-caso-congruencia.jpg)
Comparando os triângulos, temos que:
AC = FD
Em ambos, conhecemos um ângulo adjacente e um ângulo oposto a ele, logo, esses triângulos são congruentes pelo caso (LAAo).
ΔABC ≡ ΔDEF
Veja também: Quais são as diferenças entre figuras planas e espaciais?
Propriedades da congruência de triângulos
Existem três propriedades para a congruência, pois ela é reflexiva, simétrica e transitiva.
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Reflexiva: todo triângulo é congruente a ele mesmo.
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Transitiva: se o triângulo ABC é congruente ao triângulo A1B1C1 e ao triângulo A2B2C2, então, o triângulo A1B1C1 é congruente ao triângulo A2B2C2.
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Simétrica: se o triângulo ABC é congruente ao triângulo A1B1C1, então, o triângulo A1B1C1 é congruente ao triângulo ABC.
Exercícios resolvidos sobre congruência de triângulos
Questão 1 - Sobre a congruência de triângulos, julgue as afirmativas a seguir:
I – Ao comparar dois triângulos, se a medida dos ângulos for congruente, então, podemos afirmar que esses triângulos são congruentes pelo caso Ângulo, Ângulo e Ângulo.
II – Dois triângulos equiláteros podem não ser congruentes.
III – Ao comparar dois triângulos, as medidas dos lados forem congruentes um a um, então, podemos afirmar que esses triângulos são congruentes.
Marque a alternativa correta:
A) Somente a I é verdadeira.
B) Somente a II é verdadeira.
C) Somente a III é verdadeira.
D) Somente a II é falsa.
E) Somente a I é falsa.
Resolução
Alternativa E
I – (Falsa) Ter os ângulos congruentes não é o suficiente para que esses triângulos sejam congruentes.
II – (Verdadeira) Quando comparamos dois triângulos equiláteros, eles podem não ser congruentes.
III – (Verdadeira) Esse é o caso de congruência (LLL).
Questão 2 - Na imagem a seguir, sabemos que AB = 15, DC = 10, AC = 3x – 2 e DE = 4y + 3, então, o valor de x + y é igual a:
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Resolução:
Alternativa D
Analisando os triângulos ABC e DEC, podemos afirmar que eles são congruentes pelo caso ALA, pois, no vértice C comum aos dois triângulos, o ângulo é o mesmo, além do ângulo que já conhecemos e do lado entre esses ângulos.
Como eles são congruentes, temos que:
AC = DC
3x – 2 = 10
3x = 10 + 2
3x = 12
x = 12 : 3
x = 4
DE = AB
4y + 3 = 15
4y = 15 – 3
4y = 12
y = 12 : 4
y = 3
Por fim: x + y = 4 + 3 = 7
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