Whatsapp icon Whatsapp

Congruência de triângulos

Congruência entre triângulos ocorre quando as medidas equivalentes são iguais, ou seja, os ângulos internos e a medida dos lados, de um para o outro, são os mesmos.
O triângulo ABC é congruente ao triângulo A1B1C1.
O triângulo ABC é congruente ao triângulo A1B1C1.

Conhecemos dois triângulos como triângulos congruentes quando eles possuem todas as medidas iguais, tanto para os ângulos quanto para os lados. Para identificar se dois triângulos são congruentes, analisamos o que conhecemos como casos de congruência de triângulo. São conhecidos quatro casos de congruência de triângulo:

  • Lado, Lado, Lado (L, L, L);

  • Lado, Ângulo, Lado (LAL);

  • Ângulo, Lado, Ângulo (ALA);

  • Lado, Ângulo, Ângulo oposto (LAAo).

Leia também: Triângulo retângulo – o triângulo que apresenta um lado medindo 90°

Resumo sobre congruência de triângulos

  • Dois triângulos são congruentes, quando, ao compará-los, os ângulos internos e os lados possuem as mesmas medidas.

  • Existem quatro casos possíveis para identificarmos se os triângulos são semelhantes, são eles:

    • Lado, Lado, Lado (LLL): se os lados forem congruentes, então, os triângulos são congruentes;

    • Lado, Ângulo, Lado (LAL): se dois lados e o ângulo formado entre esses lados são congruentes, então, os triângulos são congruentes;

    • Ângulo, Lado, Ângulo (ALA): se dois ângulos são congruentes e o lado que está entre eles também é congruente, então, esses triângulos são congruentes.

    • Lado, Ângulo, Ângulo oposto (LAAo): se um lado é congruente, o ângulo adjacente a esse lado e o ângulo oposto a esse lado são congruentes, então, os triângulos são congruentes.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

O que são triângulos congruentes?

Definimos dois triângulos como congruentes quando é possível perceber uma correspondência de igualdade entre as medidas dos lados e dos ângulos desses triângulos, ou seja, dois triângulos são congruentes quando os lados e ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas.

Triângulo isósceles ABC congruente ao triângulo DEF.
O ΔABC é congruente ao ΔDEF.

Analisando a imagem, os triângulos são congruentes pelo fato de os lados e ângulos correspondentes possuírem as mesmas medidas.

Analisando os lados, temos que:

AB = DE

AC = DF

EF = BC

Quando analisamos os ângulos, temos que:

Comparação dos ângulos dos triângulos.

Como todas as medidas são congruentes, então, esses triângulos são congruentes, assim, utilizamos a seguinte notação para representar essa congruência: ΔABC ≡ ΔDEF (lê-se: triângulo a, b, c é congruente ao triângulo d, e, f)

Observação: quando utilizamos essa notação, a ordem dos vértices é relevante. Quando escrevemos dessa maneira, significa que o vértice A é correspondente ao vértice D, que o vértice B corresponde ao vértice E, e que o vértice C é correspondente ao vértice F.

Veja também: Como estudar geometria para o Enem?

Casos de congruência de triângulos

Para identificar se os triângulos são congruentes, não precisamos comparar todos os seus ângulos e lados, pois existem o que conhecemos como casos de congruência, em que três elementos são o suficiente para dizermos se os triângulos são congruentes. Existem quatro casos de congruência, são eles:

  • 1º caso de congruência: Lado, Lado, Lado (LLL)

  • 2ºcaso de congruência: Lado, Ângulo, Lado (LAL)

  • 3º caso de congruência: Ângulo, Lado, Ângulo (ALA)

  • 4º caso de congruência: Lado, Ângulo, Ângulo oposto (LAAo)

1º caso de congruência

Ao comparar dois triângulos, se as medidas dos três lados de um deles forem congruentes às medida dos três lados do outro triângulo, então, essa condição é o suficiente para afirmarmos que esses triângulos são congruentes.

Dois triângulos com lados congruentes.
Os triângulos são congruentes pelo caso (LLL).

Ao analisar os lados, temos que:

AB = DE

AC = DF

BC = EF

Como os três lados são congruentes, então, esses triângulos são congruentes pelo caso (LLL).

ΔABC ≡ ΔDEF

2º caso de congruência

Dados dois triângulos, se, ao comparar a medida dos lados e dos ângulos, caso haja um lado, um ângulo e um lado congruentes, então, podemos afirmar que esses dois triângulos são congruentes. É importante que a ordem seja respeitada, então, nesse caso, o ângulo precisa estar necessariamente entre os dois lados.

Dois triângulos congruentes com um ângulo e dois lados iguais.
Os triângulos são congruentes pelo caso (LAL).

Analisando os dois triângulos, temos que:

AB = A1B1

 = Â1

AC = A1C1

Então, esses triângulos são congruentes pelo caso (LAL).

ΔABC ≡ ΔA1B1C1

3º caso de congruência

Comparando dois triângulos, se dois ângulos são congruentes e o lado que está entre esses ângulos também é congruente, então, esses triângulos são congruentes. Assim como no caso anterior, a ordem é importante, ou seja, o lado congruente tem que estar entre os dois ângulos.

Dois triângulos retângulos congruentes que apresentam um lado e dois ângulos iguais.
Os triângulos são congruentes pelo caso (ALA).

Quando comparamos esses triângulos, temos que:

AB = DE

Eles estão entre os ângulos de 45º e 90º nos dois triângulos, logo, eles são congruentes pelo caso ALA. Assim:

ΔABC ≡ ΔDEF

Comparação dos ângulos de triângulos no terceiro caso de congruência.

4º caso de congruência

Ao compararmos dois triângulos quando eles possuem um lado, um ângulo adjacente a esse lado e um ângulo oposto a esse lado congruentes, sabemos, desse modo, que os triângulos são congruentes.

Dois triângulos congruentes com as mesmas medidas de um lado, do ângulo adjacente ao lado e do ângulo oposto.
Os triângulos são congruentes pelo caso (LAAo).

Comparando os triângulos, temos que:

AC = FD

Em ambos, conhecemos um ângulo adjacente e um ângulo oposto a ele, logo, esses triângulos são congruentes pelo caso (LAAo).

ΔABC ≡ ΔDEF

Veja também: Quais são as diferenças entre figuras planas e espaciais?

Propriedades da congruência de triângulos

Existem três propriedades para a congruência, pois ela é reflexiva, simétrica e transitiva.

  • Reflexiva: todo triângulo é congruente a ele mesmo.

  • Transitiva: se o triângulo ABC é congruente ao triângulo A1B1C1 e ao triângulo A2B2C2, então, o triângulo A1B1C1 é congruente ao triângulo A2B2C2.

  • Simétrica: se o triângulo ABC é congruente ao triângulo A1B1C1, então, o triângulo A1B1C1 é congruente ao triângulo ABC.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Sobre a congruência de triângulos, julgue as afirmativas a seguir:

I – Ao comparar dois triângulos, se a medida dos ângulos for congruente, então, podemos afirmar que esses triângulos são congruentes pelo caso Ângulo, Ângulo e Ângulo.

II – Dois triângulos equiláteros podem não ser congruentes.

III – Ao comparar dois triângulos, as medidas dos lados forem congruentes um a um, então, podemos afirmar que esses triângulos são congruentes.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a I é verdadeira.

B) Somente a II é verdadeira.

C) Somente a III é verdadeira.

D) Somente a II é falsa.

E) Somente a I é falsa.

Resolução

Alternativa E

I – (Falsa) Ter os ângulos congruentes não é o suficiente para que esses triângulos sejam congruentes.

II – (Verdadeira) Quando comparamos dois triângulos equiláteros, eles podem não ser congruentes.

III – (Verdadeira) Esse é o caso de congruência (LLL).

Questão 2 - Na imagem a seguir, sabemos que AB = 15, DC = 10, AC = 3x – 2 e DE = 4y + 3, então, o valor de x + y é igual a:

Dois triângulos retângulos congruentes ABC e CDE.

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Resolução:

Alternativa D

Analisando os triângulos ABC e DEC, podemos afirmar que eles são congruentes pelo caso ALA, pois, no vértice C comum aos dois triângulos, o ângulo é o mesmo, além do ângulo que já conhecemos e do lado entre esses ângulos.

Como eles são congruentes, temos que:

AC = DC

3x – 2 = 10

3x = 10 + 2

3x = 12

x = 12 : 3

x = 4

DE = AB

4y + 3 = 15

4y = 15 – 3

4y = 12

y = 12 : 4

y = 3

Por fim: x + y = 4 + 3 = 7

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira

Artigos Relacionados

Baricentro do triângulo ABC.
Baricentro de um triângulo
Entenda o que é o baricentro de um triângulo e aprenda como encontrá-lo quando representado no plano cartesiano. Resolva as questões referentes ao tema.
Classificação de triângulos
Classificação de triângulos: critérios e nomes
Polígonos inscritos e circunscritos na circunferência
Elementos do polígono regular inscrito
Clique e aprenda o que são os elementos do polígono regular inscrito em uma circunferência e conheça algumas propriedades básicas deles.
Heron de Alexandria
Fórmula de Heron
Clique aqui e aprenda o que é e quando utilizar a fórmula de Heron.
Os problemas de Geometria no Enem exploram também conhecimentos em álgebra e aritmética
Geometria no Enem: o que estudar?
Quer saber o que estudar em Geometria para ter bons resultados no Enem? Clique aqui e conheça um roteiro de conteúdo para esse exame e veja uma boa forma de organizar seus estudos e elevar o aprendizado. Encontre também indicações de textos para os principais temas de Geometria presentes no Enem.
Figura formada apenas por losangos
Losangos
Clique para aprender o que é losango e uma série de características e propriedades herdadas de outras figuras geométricas da mesma família.
O Teorema de Pitágoras no Cotidiano
Clique aqui e entenda como o Teorema de Pitágoras está presente em nosso cotidiano.
Identificando os pontos notáveis em um triângulo
Pontos Notáveis do Triângulo
Você sabe como identificar os pontos notáveis do triângulo? Aprenda a encontrar todos eles.
Reta tangente, externa ou secante são as posições entre reta e circunferência
Posição relativa entre uma reta e uma circunferência
Clique para aprender a posição relativa entre uma reta e uma circunferência e conheça também algumas de suas propriedades.
O triângulo equilátero possui três lados congruentes
Propriedades do triângulo equilátero
Clique para aprender as propriedades dos triângulos equiláteros e para obter exemplos do uso dessas propriedades em problemas de Geometria.
Triângulos isósceles: dois lados com a mesma medida
Propriedades do triângulo isósceles
Veja propriedades que podem ser usadas para diferenciar triângulos isósceles de triângulos escalenos.
Retas paralelas cortadas por uma transversal
Retas paralelas cortadas por uma transversal
Conheça as retas paralelas cortadas por uma transversal e aprenda a calcular o valor dos ângulos nessa situação. Resolva também os exercícios propostos sobre o tema.
Semelhança de triângulos
Entenda o que é semelhança entre triângulos e o teorema fundamental da semelhança de triângulos. Veja também os casos de semelhança de triângulos e como aplicá-los.
Teorema que avalia os resultados de uma reta paralela a um lado de um triângulo
Teorema fundamental da semelhança
Clique para aprender sobre um caso interessante de semelhança de triângulos decorrente do teorema fundamental da semelhança.
Exemplos de triângulos equiláteros formados por outros três triângulos congruentes obtusângulos
Triângulos
Clique para aprender o que são os triângulos e conheça quais os elementos dessa figura e as suas principais propriedades.
Na parte de baixo, o tronco da pirâmide
Tronco da pirâmide
Clique e aprenda o que é um tronco de uma pirâmide, como esse sólido é formado, seus elementos e o modo de calcular sua área e volume.
Unidades de Medida de Área
Confira quais são as unidades de medida de área e como convertê-las.
Volume do Cubo
Capacidade do cubo em função da medida da aresta.
Volume do Tronco da Pirâmide
Determinando os elementos e calculando o volume do tronco da pirâmide.
Ângulos no círculo
Clique aqui e conheça as características e propriedades dos ângulos no círculo!
video icon
Enem
Saíram as datas do SiSU, ProUni e Fies 2021/2
O MEC divulgou as datas das edições do segundo semestre de 2021 do SiSU, ProUni e Fies. Saiba mais como funcionarão os programas.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Videoaula Brasil Escola
Inglês
Genitive Case
É hora de aperfeiçoar sua gramática na Língua Inglesa. Assista!
video icon
Videoaula Brasil Escola
Sociologia
Democracia racial
Você sabe o que significa democracia racial? Clique e nós te ensinamos!
video icon
Tigres Asiáticos
Geografia
Tigres Asiáticos
Assista à nossa videoaula sobre os Tigres Asiáticos, e conheça as razões do desenvolvimento rápido desses territórios.