Semelhança de triângulos

A semelhança de triângulos consiste, de modo geral, na proporção entre dois ou mais triângulos, ou seja, são proporcionais se, e somente se, todos os seus lados e ângulos internos forem proporcionais ao outro triângulo. Convenhamos que verificar todos esses elementos um a um gera um pouco de trabalho. A fim de facilitar o processo, vamos estudar os casos de semelhança nos quais é necessário verificar somente três desses elementos.

Leia também: Propriedades do triângulo equilátero

Triângulos semelhantes

Dados dois triângulos ABC e A’B’C’, vamos dizer que eles são semelhantes se, e somente se, os ângulos correspondentes são congruentes na mesma ordem, ou seja, se os ângulos são iguais e se os lados correspondentes são ordenadamente proporcionais. Veja:

Ângulos correspondentes congruentes:

A = A'

B = A'

C = A'

Lados correspondentes proporcionais:

A'B' = B'C' = A'C' = k
AB BC AC

O número k nas razões entre os lados é chamado de constante de proporcionalidade, e as razões são chamadas de razões de proporcionalidade.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Exemplo

Vamos verificar se os triângulos a seguir são proporcionais.

Observe que a correspondência entre os ângulos dos triângulos azul e vermelho é dada por:

A = 65° = B’

B = 45° = A’

C = 70° = C’

Veja também que o lado A’B’ está para o lado AB, que o lado B’C’ está para o lado AC e que o lado A’C’ está para o lado BC, ou seja:

Note que, nessa ordem, podemos encontrar uma proporção entre os lados em que a constante de proporcionalidade é igual a 1/3, ou seja, para construir o triângulo A’B’C’, basta multiplicar cada lado do triângulo ABC por 1/3. Assim, temos que os triângulos são semelhantes na seguinte ordem:

ABC ~ B’A’C’

Veja também: Condição de existência de um triângulo

Teorema fundamental da semelhança de triângulos

Considere inicialmente um triângulo DEF e considere uma reta paralela GH ao lado.

“O teorema fundamental da semelhança de triângulos afirma que toda reta paralela a um dos lados do triângulo que intercepta os outros dois lados determina um segundo triângulo semelhante ao primeiro.”

No triângulo acima, vamos ter a seguinte semelhança:

DFE ~ GFH

Exemplo

No triângulo ABC, o segmento DE é paralelo ao lado BC. Sabe-se também que AB = 8 cm, AC = 10 cm e AD = 2 cm. Determine o comprimento dos segmentos AE e EC.

Como o segmento DE é paralelo ao lado BC do triângulo ABC, pelo teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos que os triângulos ABC e ADE são semelhantes, logo seus lados, de modo ordenado, são proporcionais, então:

Veja também que o lado AC é dado pela soma AE + EC. Substituindo os valores de cada lado, temos:

AC = AE + EC

10 = 2,5 + EC

10 – 2,5 = EC

EC = 7,5 cm

Portanto, AE = 2,5 cm e EC = 7,5 cm.

Saiba também: Relações no triângulo retângulo

Casos de semelhança de triângulos

Vimos que, para verificar se dois triângulos são, de fato, semelhantes ,é necessário que todos os ângulos correspondentes sejam iguais e que os lados correspondentes sejam proporcionais, entretanto não é necessário verificar as seis condições. Veremos a seguir casos de semelhança que facilitam tal verificação.

  • Caso Ângulo – Ângulo (AA)

Vamos dizer que dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos do outro triângulo.

Se dois ângulos são congruentes, os triângulos são semelhantes e a volta também é verdadeira, isto é, caso dois triângulos sejam semelhantes, então podemos afirmar que dois ângulos correspondentes são iguais.

  • Caso Lado – Ângulo – Lado (LAL)

Dizemos que dois triângulos são semelhantes se dois lados são proporcionais e os ângulos entre esses lados são congruentes, isto é, iguais.

A condição para que esses dois triângulos sejam semelhantes é que a razão entre AB e A’B’ seja igual à razão entre os lados AC e A’C’, ou seja, que os lados sejam proporcionais. Além disso, o ângulo compreendido entre esses lados deve ser igual: Â = Â.

Nesse caso, também vale a volta da afirmação, ou seja, se dois triângulos são semelhantes, então podemos afirmar que dois de seus lados são proporcionais e que os ângulos entre esses lados são iguais.

  • Caso Lado – Lado – Lado (LLL)

Dois triângulos são ditos semelhantes se os três lados do primeiro triângulo são ordenadamente proporcionais aos lados do segundo triângulo.

Nesse caso, para que os triângulos sejam semelhantes, os lados correspondentes devem ser iguais.

Exemplo

Considere os triângulos a seguir. Sabendo que eles são semelhantes, determine os valores de a, b e c. O perímetro do triângulo maior é igual a 84 cm.

Por hipótese, os triângulos são semelhantes. Podemos dizer ainda que a semelhança é pelo caso LLL, ou seja, ABC ~ A’B’C’, portanto:

Como o perímetro do triângulo maior é igual a 84 cm, temos que:

a + b + c = 84

7k + 9k + 5k = 84

21k = 84

k =4

Substituindo os valores de k nas igualdades, temos:

a = 7 · (4) → a = 28 cm

b = 9 · (4) → b = 36 cm

c = 5 · (4) → c = 20 cm

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (PUC-Campinas) Os triângulos ABC e AED, representados na figura a seguir, são semelhantes, sendo os ângulos D e C congruentes.

Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 10,4 cm, o perímetro do quadrilátero BCED, em centímetros, é:

a) 32,6

b) 36,4

c) 40,8

d) 42,6

e) 44,4

Solução

Alternativa e.

Os triângulos ABC e AED são semelhantes, logo seus lados, nessa ordem, formam uma proporção. Das propriedades de proporção, temos:

Multiplicando cruzado as duas primeiras frações, temos:

20 · DE = 10 · 16

20 · DE = 160

DE = 8 cm

Agora, multiplicando cruzado a primeira fração com a terceira, temos:

20 · 10,4 = 10 · (10 + BD)

208 = 100 + 10 · BD

10 ·BD = 208 – 100

10 · BD = 108

BD = 10,8 cm

Note que o lado AC é dado por AE + CE. Substituindo os valores conhecidos, temos:

AC = AE + CE

20 = 10,4 + CE

CE = 20 – 10,4

CE = 9,6 cm

E portanto o perímetro do quadrilátero BCED é:

BC + CE + DE + DB

16 + 9,6 + 8 + 10,8

44,4 cm  

Publicado por Robson Luiz
Assista às nossas videoaulas

Artigos Relacionados

Baricentro do triângulo ABC.
Baricentro de um triângulo
Entenda o que é o baricentro de um triângulo e aprenda como encontrá-lo quando representado no plano cartesiano. Resolva as questões referentes ao tema.
Tubos cilíndricos usados na construção civil
Cilindros
Clique e aprenda o que são cilindros, quais os seus elementos e sua classificação e veja as fórmulas para calcular a área e o volume desses sólidos.
O triângulo ABC é congruente ao triângulo A1B1C1.
Congruência de triângulos
Entenda o que são os triângulos congruentes. Identifique cada um dos casos de congruência do triângulo. Use a congruência para encontrar valores desconhecidos.
Heron de Alexandria
Fórmula de Heron
Clique aqui e aprenda o que é e quando utilizar a fórmula de Heron.
Os problemas de Geometria no Enem exploram também conhecimentos em álgebra e aritmética
Geometria no Enem: o que estudar?
Quer saber o que estudar em Geometria para ter bons resultados no Enem? Clique aqui e conheça um roteiro de conteúdo para esse exame e veja uma boa forma de organizar seus estudos e elevar o aprendizado. Encontre também indicações de textos para os principais temas de Geometria presentes no Enem.
Polígono formado por outros polígonos com número de lados em progressão aritmética
Polígonos convexos e regulares
Compreenda a definição de polígonos, bem como todos os pré-requisitos para que eles sejam considerados convexos e regulares.
Identificando os pontos notáveis em um triângulo
Pontos Notáveis do Triângulo
Você sabe como identificar os pontos notáveis do triângulo? Aprenda a encontrar todos eles.
Triângulos isósceles: dois lados com a mesma medida
Propriedades do triângulo isósceles
Veja propriedades que podem ser usadas para diferenciar triângulos isósceles de triângulos escalenos.
A relação entre segmentos secantes na circunferência e triângulos formados por eles é de proporcionalidade
Relação entre segmentos secantes na circunferência
Clique e aprenda qual é a relação existente entre dois segmentos secantes na circunferência e obtenha exemplos dos cálculos desse conteúdo.
A relação entre as cordas de uma circunferência é uma propriedade das relações métricas
Relações métricas na circunferência: relação entre cordas
Clique e aprenda sobre relações métricas na circunferência, propriedades que podem expressar a relação e a proporcionalidade entre cordas.
Por meio das relações fundamentais da Trigonometria, é possível relacionar as razões trigonométricas
Segunda relação fundamental da Trigonometria
Clique e descubra qual é a segunda relação fundamental da Trigonometria e entenda como esse teorema associa as razões trigonométricas básicas.
Teorema que avalia os resultados de uma reta paralela a um lado de um triângulo
Teorema fundamental da semelhança
Clique para aprender sobre um caso interessante de semelhança de triângulos decorrente do teorema fundamental da semelhança.
Na parte de baixo, o tronco da pirâmide
Tronco da pirâmide
Clique e aprenda o que é um tronco de uma pirâmide, como esse sólido é formado, seus elementos e o modo de calcular sua área e volume.
Volume da Pirâmide
Clique aqui e aprenda como é fácil determinar o volume da pirâmide!
Volume do cilindro
Veja aqui o que é um cilindro e entenda seus elementos. Saiba calcular sua área e volume.
Os polígonos regulares, como são hexágonos, possuem a mesma razão de semelhança.
Área de figuras semelhantes
Clique para aprender a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes e saiba também a diferença entre ela e a razão de semelhança entre figuras.
video icon
Geografia
Geografia da Índia
Assista à nossa videoaula sobre os aspectos geográficos da Índia e conheça as principais características desse país. Entenda também a formação da Cordilheira do Himalaia e o mecanismo das monções asiáticas.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Videoaula Brasil Escola
Guia de Profissões
Publicidade e Propaganda
Que tal conhecer um pouco mais sobre as funções de um publicitário?
video icon
Videoaula Brasil Escola
Inglês
Genitive Case
É hora de aperfeiçoar sua gramática na Língua Inglesa. Assista!
video icon
Videoaula Brasil Escola
Português
Preposições
Vamos aprender mais sobre essa classe conectiva de termos?