Sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci é uma sucessão de números naturais em que cada termo, a partir do terceiro, é dado pela soma de seus dois termos antecessores.

Essa sequência possui uma ligação com a proporção áurea e o número de ouro, uma vez que a sequência das razões entre dois termos consecutivos da sequência de Fibonacci tende a esse valor.

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Resumo sobre a sequência de Fibonacci

• Os dois primeiros termos na sequência de Fibonacci são representados pelo número 1.
• A partir do terceiro termo, cada um termo da sequência consiste na soma dos dois termos antecessores a ele.
• Um segmento respeita a proporção áurea se, ao ser dividido em dois segmentos, a razão entre o segmento total e o segmento maior for igual à razão do segmento maior e o segmento menor.
• O número de ouro, descrito pela proporção áurea, também é encontrado pela sequência de razões entre dois termos seguidos da sequência de Fibonacci.
• Um retângulo de ouro é um retângulo cujas medidas seguem a proporção áurea.
• A sequência de Fibonacci possui relações não apenas com a matemática pura e aplicada, mas também com áreas de ciências da computação, biológicas, entre outras.
• A sequência de Fibonacci foi elaborada pelo matemático Leonardo de Pisa, conhecido como Leonardo Fibonacci.

Como é a sequência de Fibonacci?

A sequência de Fibonacci é uma sequência numérica cujos elementos são números naturais e, a partir do terceiro termo, cada um dos termos é representado pela soma de seus dois antecessores.

Assim, os dois primeiros termos da sequência são expressos pelo número 1, enquanto os demais são fornecidos através da soma dos dois anteriores:

Sequência de Fibonacci =\((1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ \ldots)\)

Qual a fórmula de Fibonacci?

Uma maneira de expressar cada um dos termos da sequência de Fibonacci é através de uma fórmula que atribui cada termo à soma dos dois anteriores, ou seja, o n -ésimo termo da sequência é igual à soma dos termos n-1 e n-2, para todo número n natural maior do que 2.

Logo, os termos da sequência de Fibonacci são dados de forma recursiva:

\(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\)

Na fórmula, \(n>2 e\ f_1=f_2=1\).

Através dela, é possível encontrar os termos da sequência:

\(f_2=f_1=1\)

\(f_3=f_2+f_1=1+1=2\)

\(f_4=f_3+f_2=2+1=3\)

\(f_5=f_4+f_3=3+2=5\)

\(f_6=f_5+f_4=5+3=8\)

\(f_7=f_6+f_5=8+5=13\)

⋮

\(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\)

⋮

Portanto, essa fórmula apresenta os termos da sequência de Fibonacci:

Sequência de Fibonacci =\((1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ \ldots,f_{n-2},\ f_{n-1},\ f_n,\ \ldots)\)

Proporção áurea

Para compreender o conceito de proporção áurea, imagine um segmento \(\bar{AB} \) e um ponto C pertencente a esse segmento de forma que a distância dele ao ponto B é menor que a distância dele ao ponto A:

Se a razão entre o segmento \(\bar{AB}\) e o segmento \(\bar{AC}\) for exatamente igual à razão entre o segmento \(\bar{AC}\) e o segmento \(\bar{CB}\), então é dito que os segmentos \(\bar{AC}\) e \(\bar{CB}\) estão na proporção áurea.

Essa razão resulta em uma constante real irracional, representada pela letra grega phi (φ) , que também recebe o nome de número de ouro:

\(\frac{\bar{AB}}{\bar{AC}}=\frac{\bar{AC}}{\bar{CB}}=\varphi=1,618\ldots\)

Número de ouro

Como visto antes, o número de ouro φ é a constante irracional que representa a proporção áurea. Contudo, existe uma conexão entre esse número e a sequência de Fibonacci.

Percebeu-se que a razão entre o n- ésimo termo da sequência de Fibonacci e seu antecessor tende ao número de ouro à medida que se tomam números naturais n  cada vez maiores:

Razão entre o 3° e o 2°  termo =\(\frac{2}{1}=2\)

Razão entre o 4° e o 3°  termo =\(\frac{3}{2}=1,5\)

Razão entre o 5° e o 4°  termo =\(\frac{5}{3}=1,666\ldots\)

Razão entre o 6° e o 5°  termo =\(\frac{8}{5}=1,6\)

Razão entre o 7° e o 6°  termo =\(\frac{13}{8}=1,625\)

Razão entre o 8° e o 7°  termo =\(\frac{21}{13}=1,615\ldots\)

Razão entre o 9°  e o 8°  termo =\(\frac{34}{21}=1,619\ldots\)

Razão entre o 10° e o 9°  termo =\(\frac{55}{34}=1,617\ldots\)

Razão entre o 11° e o 10°  termo =\(\frac{89}{55}=1,618\ldots\)

⋮

Assim, à medida que n  aumenta, as razões entre termos consecutivos da sequência de Fibonacci tendem ao número de ouro:

\(\frac{f_n}{f_{n-1}}\rightarrow\varphi=1,618\ldots\)

Leia também: Cinco curiosidades sobre os números

Retângulo de ouro

Imagine um retângulo \(ABCD\) de modo que ao retirar desse retângulo o quadrado \(AFED\) reste um retângulo \(BCEF\) que é semelhante ao retângulo original:

Se essas condições forem cumpridas, então o retângulo original \(ABCD\) é chamado de retângulo áureo ou retângulo de ouro, uma vez que os segmentos \(\bar{AF}\) e \(\bar{FB}\) estarão em proporção áurea.

A partir dessa decomposição do retângulo original, é possível continuar dividindo os retângulos que vão surgindo, de modo a criar uma sequência de retângulos de ouro:

Já a espiral de Fibonacci surge ao conectar as diagonais dos quadrados presentes nos retângulos de ouro através de arcos de circunferência:

Exemplos da sequência de Fibonacci

A utilização da sequência de Fibonacci ocorre tanto em estudos teóricos quanto nas aplicações científicas. Enquanto a sequência propriamente dita é utilizada na matemática pura, ciências da computação e até mesmo em análises financeiras, as formas dos retângulos e espirais de ouro são amplamente estudadas em áreas como as ciências biológicas, artes e design.

Desde que foi elaborado, muitos estudiosos tentam assimilar o padrão geométrico das espirais de Fibonacci e a proporção referente ao número de ouro com a realização de determinadas artes, construções e pinturas da época. Contudo, não é possível afirmar isto com certeza, afinal muitas dessas relações iriam requerer diversas manipulações numéricas para serem consideradas verídicas.

• Sequência de Fibonacci na natureza

Muitos estudiosos acreditam que na natureza a proporção do número de ouro se manifesta em alguns seres vivos. Uma das mais conhecidas teses é referente ao corpo humano. Existem algumas medidas que, ao terem suas razões calculadas, resultam em aproximações do número de ouro.

Uma delas se refere à razão entre a altura de uma pessoa e a altura até o umbigo. Outra relaciona o número de ouro à razão entre o comprimento do ombro da pessoa até a ponta de seu dedo médio e a altura do cotovelo até a ponta desse mesmo dedo.

Outro exemplo de utilização da sequência de Fibonacci na natureza seria na observação de que, em algumas plantas, o número de ramificações se aproxima dos termos da sequência de Fibonacci:

Leonardo Fibonacci

Leonardo de Pisa, também conhecido como Leonardo Fibonacci, foi um matemático europeu que nasceu em Pisa, Itália, na década de 1170.  Filho de Guglielmo dei Bonacci, mercador pisano, Leonardo pôde viajar por diversos locais, conhecendo outras culturas e desenvolvendo muitas técnicas matemáticas distintas daquelas utilizadas na Europa, além de aprender mais sobre comércio e questões monetárias.

Sua primeira grande obra, conhecida como Liber Abaci, publicada em 1202 , foi responsável por inserir os algarismos indo-arábicos na Europa, além de apresentar a sequência de números que carrega seu nome até os dias atuais.

Essa sequência de números pensada por Fibonacci na verdade era a solução de um problema proposto por ele em seu livro, que procurava associar quantos pares de coelhos haveria ao fim de cada mês, em determinado ambiente, segundo algumas condições impostas. A resposta era que no primeiro e segundo meses haveria apenas um par de coelhos, ao final do terceiro mês haveriam dois pares. No fim do quarto haveria três pares e assim por diante.

Fontes:

FERREIRA, M. V.; PEREIRA, L. C. Sequência De Fibonacci: História, Propriedades e Relações com a Razão Áurea. Disciplinarum Scientia. Série: Ciências Naturais e Tecnológicas, S. Maria, v. 9, n. 1, p. 67-81, 2008. Disponível em: https://periodicos.ufn.edu.br/index.php/disciplinarumNT/article/view/1236/1172.

RAMOS, Marcos Gertrudes Oliveira. A Sequência de Fibonacci e o Número de Ouro. Orientador: Romenique da Rocha Silva. 2013. Dissertação (Mestrado) – Curso de Matemática, Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas, Universidade Estadual de Santa Cruz, Ilhéus, 2013. Disponível em: http://www.biblioteca.uesc.br/biblioteca/bdtd/201160277d.pdf.