Sistema de numeração decimal

O sistema de numeração decimal é uma padronização matemática que utiliza os algarismos de 0 a 9 associados a potências de 10 para representar os números. Dizemos que o sistema de numeração decimal é posicional, pois a localização de cada algarismo determina seu significado.

A origem desse sistema remonta à China e à Índia do século IV d.C., com posterior disseminação por comerciantes árabes. Desde então, o sistema indo-arábico, como ficou conhecido, passou por modificações e aprimoramentos, até alcançar o formato atual.

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Resumo sobre o sistema de numeração decimal

• Para escrever todos os números, o sistema de numeração decimal utiliza os algarismos de 0 a 9: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

• A ordem dos algarismos é fundamental para a composição de cada número. Assim, o sistema de numeração decimal é posicional.

• Cada algarismo possui um “peso” regido por uma potência de 10.

• As posições que os algarismos ocupam são chamadas de ordens e compõem diferentes classes.

• Há registros do sistema de numeração decimal em diferentes civilizações ao longo da história, mas sua origem é atribuída principalmente aos indianos, por volta do século IV d.C.

Videoaula sobre o sistema de numeração decimal

Quais são as características do sistema de numeração decimal?

O sistema de numeração decimal utiliza os algarismos de 0 a 9 para escrever todos os números:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Cada número é formado por um encadeamento específico e ordenado desses algarismos. Isso significa que o sistema de numeração decimal é posicional, ou seja, que a localização de cada algarismo estabelece seu valor. Um exemplo disso são os números 12 e 21: ambos são formados pelos mesmos algarismos (1 e 2), porém seus significados são distintos, uma vez que a posição de cada algarismo é diferente nos dois casos.

Em um número, o valor de cada algarismo está relacionado a uma potência de base 10. Observe que podemos fatorar os números 12 e 21 da seguinte maneira:

\(12=1⋅10^1+2⋅10^0\)

\(21=2⋅10^1+1⋅10^0\)

Observação: Lembre-se que \(10^0=1\).

Para compreender melhor essa relação, vamos conhecer as ordens e classes do sistema decimal, que formam as posições dos algarismos.

Ordens e classes do sistema decimal

No sistema de numeração decimal, cada algarismo ocupa uma posição chamada de ordem, e as ordens são agrupadas em classes. Vejamos as três principais classes: das unidades simples, dos milhares e dos milhões.

A leitura das ordens ocorre da direita para a esquerda. Assim, a 1ª ordem é a das unidades, a 2ª ordem é a das dezenas, a 3ª ordem é a das centenas e assim por diante.

Vamos voltar aos exemplos do 12 e 21 para visualizar o funcionamento dessas classes e ordens.

O número 12 pode ser representado como \(1⋅10^1+2⋅10^0\). Isso significa que o algarismo 1 representa uma dezena (dez) e o algarismo 2 representa duas unidades.

Já o número 21 pode ser representado como \(2⋅10^1+1⋅10^0\). Isso significa que, nesse caso, o algarismo 2 representa duas dezenas (20) e o algarismo 1 representa uma unidade.

Vejamos outros exemplos numéricos.

Exemplos:

a) Decomponha o número 1.347 e indique o significado de cada algarismo em relação à ordem.

\(1.347=1⋅10^3+3⋅10^2+4⋅10^1+7⋅10^0\)

• O algarismo 1 representa uma unidade de milhar (mil).

• O algarismo 3 representa três centenas (trezentos).

• O algarismo 4 representa quatro dezenas (quarenta).

• O algarismo 7 representa sete unidades.

Assim, a escrita por extenso do número 1.347 é mil trezentos e quarenta e sete.

b) Decomponha o número 9.671.205 e indique o significado de cada algarismo em relação à ordem.

\(9.671.205=9⋅10^6+6⋅10^5+7⋅10^4+1⋅10^3+2⋅10^2+0⋅10^1+5⋅10^0\)

• O algarismo 9 representa nove unidades de milhão (nove milhões).

• O algarismo 6 representa seis centenas de milhar (seiscentos mil).

• O algarismo 7 representa sete dezenas de milhar (setenta mil).

• O algarismo 1 representa uma unidade de milhar (mil).

• O algarismo 2 representa duas centenas (duzentos).

• O algarismo 0 representa zero dezenas (zero).

• O algarismo 5 representa cinco unidades.

Assim, a escrita por extenso do número 9.671.205 é nove milhões seiscentos e setenta e um mil e duzentos e cinco.

Observação 1: Além das classes apresentadas, existem as classes dos bilhões, do trilhões etc., cada uma com três ordens.

Observação 2: Nos exemplos, utilizamos apenas números naturais, mas é possível estender o raciocínio do valor posicional de cada algarismo para a parte decimal de um número real.

• Exemplo: O número 3,95 é formado por 3 unidades, 9 décimos e 5 centésimos, ou seja, \(3,95=3⋅10^0+9⋅10^{-1}+5⋅10^{-2}\).

Origem do sistema de numeração decimal

A estrutura atual do sistema de numeração decimal se originou na Índia por volta do século IV d.C. No entanto, muitos séculos antes, determinados aspectos desse sistema já estavam presentes em outras civilizações. No Egito, Grécia e China, há registros de sistemas de numeração na base 10 (decimal); na Mesopotâmia, utilizava-se um sistema de numeração posicional na base 60 (sexagesimal).

A expansão árabe foi responsável, a partir do século VIII d.C., por aproximar o sistema de numeração decimal criado na Índia com a Europa. Esse sistema, mais eficiente que o sistema de numeração romano utilizado na época, sofreu uma longa resistência, se tornando dominante apenas ao final do século XVI.

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Exercícios resolvidos sobre sistema de numeração decimal

Questão 1

(Enem 2022) Ao escutar a notícia de que um filme recém-lançado arrecadou, no primeiro mês de lançamento, R$ 1,35 bilhão em bilheteria, um estudante escreveu corretamente o número que representa essa quantia, com todos os seus algarismos.

O número escrito pelo estudante foi

a) 135 000,00.

b) 1 350 000,00.

c) 13 500 000,00.

d) 135 000 000,00.

e) 1 350 000 000,00.

Resolução

Observe que o algarismo 1 da extremidade à esquerda indica uma unidade de bilhão (um bilhão). Assim, o algarismo 3 indica três centenas de milhão (trezentos milhões), e o algarismo 5 indica cinco dezenas de milhão (cinquenta milhões). Completamos as demais ordens com zeros para formar a escrita completa do número:

1 350 000 000

Por fim, como o número representa um valor monetário, acrescentamos dois zeros após a vírgula para os centavos.

1 350 000 000,00

Alternativa E.

Questão 2

(Enem 2016) Ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos; um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais à esquerda. Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual.

Nessa disposição, o número que está representado na figura é

a) 46 171.

b) 147 016

c) 171 064.

d) 460 171.

e) 610 741.

Resolução

Organizando as hastes na disposição usual:

Alternativa D.