Potenciação

A potenciação é uma operação matemática essencial que transcende sua aplicação prática, revelando a beleza da lógica e da abstração numérica. Desde os primeiros estudos matemáticos, a capacidade de elevar um número a uma potência tem sido uma ferramenta muito importante para simplificar cálculos e expressar grandes e pequenos números.

Mais do que um simples processo de multiplicação repetitiva, a potenciação carrega propriedades e regras específicas que tornam seu estudo fundamental para a compreensão de conceitos avançados, como radiciação, logaritmos e progressões geométricas.

Neste artigo, exploraremos a definição, as propriedades e as particularidades dessa operação, oferecendo uma visão abrangente e aprofundada desse conceito na Matemática e no desenvolvimento do pensamento lógico.

Leia também: O que é radiciação?

Resumo sobre potenciação

• A potenciação é uma operação matemática que envolve multiplicação de fatores iguais.
• Permite simplificar multiplicações repetitivas de um número por ele mesmo.
• Tem propriedades como multiplicação e divisão de potências com a mesma base, potência de potência, entre outras.
• É amplamente utilizada em diversas áreas do conhecimento, como Física, Química e Computação.

Videoaula sobre potenciação

O que é potenciação?

A potenciação é uma operação matemática que consiste em multiplicar um número a  por ele mesmo n  vezes. Matematicamente é representada por aⁿ , em que:

• a: base
• n: expoente

Propriedades e regras da potenciação

1. Multiplicação de potências com a mesma base: repetir a base e somar os expoentes.

\(a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

2. Divisão de potências com a mesma base: repetir a base e subtrair os expoentes.

\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

3. Potência de potência: repetir a base e multiplicar os expoentes.

\(\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \)

4. Potência de um produto: elevar cada fator ao expoente e multiplicar os resultados.

\((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)

5. Potência de uma fração: elevar o numerador e o denominador ao expoente e dividir os resultados.

\(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)

Veja também: Como resolver expressões numéricas envolvendo potências

Como calcular uma potência?

1. Identifique a base e o expoente.
2. Multiplique a base por ela mesma tantas vezes quanto indicado pelo expoente.
3. Em casos de expoente negativo ou fracionário, utilize as propriedades descritas ao longo deste artigo.

Por exemplo: 2³ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8

Casos particulares da potenciação

• Expoente unitário

\(a^1=a\)

• Expoente nulo

\(a^0 = 1, \quad \text{para } a \neq 0 \)

• Expoente negativo

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \)

• Expoente fracionário

\((a)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Como se lê uma potência?

A leitura da potência aⁿ é feita da seguinte forma: a elevado a n.

Exemplos:

6⁴:  seis elevado a quatro

8⁵:  oito elevado a cinco

10⁷:  dez elevado a sete

→ Casos especiais

• Quando o expoente de uma potência é igual a 2, dizemos que ela está elevada ao quadrado.

Exemplo: 7² ⟶  sete elevado ao quadrado ou sete ao quadrado

• Quando o expoente de uma potência é igual a 3, dizemos que ela está elevada ao cubo.

Exemplo: 5³ ⟶  cinco elevado ao cubo ou cinco ao cubo

Potenciação x radiciação

A potenciação e a radiciação são operações matemáticas inversas que se complementam. Enquanto a potenciação eleva um número a um expoente, a radiciação busca determinar qual número, elevado a um dado expoente, resulta num determinado valor.

Por exemplo:

Na potenciação, 23 = 8.

Na radiciação, \(\sqrt[3]{8} \)  = 2.

Saiba mais: Como se calcula uma potência com expoente negativo

Exercícios resolvidos sobre potenciação

1) Um pendrive tem 210 MB de capacidade. Os arquivos foram duplicados 23 vezes. Quantos megabytes estão ocupados agora?

Resolução:

Use a propriedade do produto de potências com a mesma base:

210 × 23 = 213 = 8192 MB

Resposta: Estão ocupados 8192 MB.

2) Uma fazenda tem 35 metros quadrados de terra. Após vários estudos, uma área de 33 metros quadrados foi separada para cultivo. Qual é a razão entre a área total da fazenda e a área separada para cultivo?

Resolução:

Use a propriedade da divisão de potências com a mesma base:

\(\frac{3^5}{3^3} = 3^2 = 9\)

Resposta: A razão entre a área total da fazenda e a área separada para cultivo é igual a 9.

3) Uma bactéria se divide 52 vezes a cada hora. Após 3 horas, qual é o número total de divisões?

Resolução:

Use a propriedade da potência de potência: 

(5²)³  = 56 = 15.6255

Resposta: O número total de divisões após 3 horas é 15.625.

Fontes

FELTES, Rejane Zeferino et al. Análise de erros em potenciação e radiciação: um estudo com alunos de ensino fundamental e médio. 2007.

NASCIMENTO, Ismael Santos do. Ensino de potenciação: uma pesquisa sobre a prática docente durante o ensino remoto. 2020.

RICHARTZ, MARIZE. POTENCIAÇÃO–UM ESTUDO DIDÁTICO. 2005.