Método de completar quadrados

Para encontrar os resultados de uma equação do segundo grau, pode-se utilizar um método conhecido como completar quadrados. Para tanto, lembre-se do conceito de produtos notáveis.

Ao escrever uma equação do segundo grau na forma de produto notável, é possível simplificar todos os cálculos para encontrar suas raízes. Muitas vezes, as raízes já são dadas simplesmente ao reescrever a equação.

Para essas resoluções, dividiremos as equações em três casos, que, juntos, formam o método de completar quadrados utilizado para resolver equações do segundo grau.

1 – A equação do segundo grau é um trinômio quadrado perfeito

Toda equação do segundo grau que for um trinômio quadrado perfeito será também resultado de um dos produtos notáveis abaixo. O lado direito desses produtos, em vermelho, é chamado justamente de trinômio quadrado perfeito.

(x + k)² = x² + 2kx + k²

(x – k)² = x² – 2kx + k²

Para encontrar os resultados desse tipo de equação, basta reescrevê-la como produto notável. Nas expressões dadas acima, produto notável é o lado esquerdo da igualdade, em azul.

Observe o exemplo abaixo, em que comparamos os coeficientes “a”, “b” e “c” de uma equação do segundo grau com os valores de 2k e k² nos produtos notáveis anteriores.

Exemplo: Calcule as raízes da equação do segundo grau x² + 18x + 81 = 0.

Para ter certeza de que uma equação é trinômio quadrado perfeito, observe se b = 2k e c = k²(não se esqueça de que “a”, “b” e “c” são coeficientes da equação do segundo grau e 2k e k² são coeficientes do produto notável).

A equação desse exemplo possui a = 1, b = 2·9 e c = 9². Logo, pode ser reescrita da seguinte maneira:

x² + 2·9·x + 9² = (x + 9)² = 0.

Assim sendo, encontrar as raízes da equação do exemplo acima se torna tarefa fácil. Basta pensar em quais são os valores que x pode assumir para que x + 9 = 0.

x + 9 = 0

x = 0 – 9

x = – 9

Portanto, as duas raízes dessa equação são iguais, e o resultado é – 9. Para ter certeza dessa afirmação, lembre-se de que um produto entre dois termos só é igual a zero se um dos termos for igual a zero. Portanto, na multiplicação resultante de (x + 9)² = 0, teremos:

(x + 9)² = 0

(x + 9)(x + 9) = 0

O primeiro termo, em azul, é igual a zero, ou o segundo, em vermelho, é igual a zero. Como ambos são x + 9, então, para ambos, o resultado é x = – 9.

2 – A equação do segundo grau NÃO é um trinômio quadrado perfeito

Existem casos em que a equação do segundo grau não é um trinômio quadrado perfeito. Ainda assim é possível resolver essas equações seguindo esse método. Para tanto, considere, por exemplo, a equação abaixo, em que x é incógnita, k e r são números reais, com r diferente de k².

x² + 2k·x + r = 0

A equação acima só é trinômio quadrado perfeito se r = k². Porém, o exemplo diz em seu texto que essa informação não é verdadeira.

Uma vez que falta apenas o termo k² no primeiro membro da equação para que exista a possibilidade de escrevê-la como produto notável, vamos somá-lo nos dois membros dessa equação e “passar” o termo “r” para o segundo membro. Como estamos somando um número elevado ao quadrado que falta na equação original, esse procedimento recebe o nome de completar quadrados. Observe:

x² + 2k·x + r + k² = 0 + k²

x² + 2k·x + k² = 0 + k² – r

x² + 2k·x + k² = k² – r

No primeiro membro da equação, o que restou foi apenas um trinômio quadrado perfeito. Escreva-o na forma de produto notável para obter:

(x + k)² = k² – r

Por fim, para encontrar os valores de x, basta extrair a raiz quadrada em ambos os membros da equação:

√(x + k)² = √(k² – r)

x + k = ± √(k² – r)

x = k ± √(k² – r)

Observe que foi introduzido o símbolo ±. Esse símbolo indica que é necessário realizar os cálculos do valor de x utilizando um valor positivo de √(k² + r) e um valor negativo de √(k² – r). Dessa forma:

x = k + √(k² – r) ou x = k – √(k² – r)

Exemplo: Quais são as raízes da equação x² + 18x – 19 = 0?

Solução: utilizando o método de completar quadrados, teremos:

x² + 18x – 19 = 0

x² + 18x – 19 + 81 = 0 + 81

x² + 18x + 81 = 81 + 19

x² + 18x + 81 = 100

(x + 9)² = 100

√(x + 9)² = ± √100

x + 9 = ± 10

x = ± 10 – 9

x = 10 – 9 = 1 ou

x = – 10 – 9 = – 19

3 – O caso em que o coeficiente “a” é diferente de 1

Repare que, nos exemplos e casos anteriores, os cálculos foram feitos considerando-se o coeficiente “a” da equação do segundo grau igual a 1. Nos casos em que “a” é diferente de 1, basta dividir toda a equação pelo valor de a. Observe:

2x² + 36x – 18 = 0

Como a = 2, dividiremos toda a equação por 2.

2x² + 36x – 18 = 0
 2        2       2    2 

x² + 18x – 9 = 0

Isso fará com que a equação resultante tenha a = 1 e possibilitará o uso do método de completar quadrados.