Método de completar quadrados
Para encontrar os resultados de uma equação do segundo grau, pode-se utilizar um método conhecido como completar quadrados. Para tanto, lembre-se do conceito de produtos notáveis.
Ao escrever uma equação do segundo grau na forma de produto notável, é possível simplificar todos os cálculos para encontrar suas raízes. Muitas vezes, as raízes já são dadas simplesmente ao reescrever a equação.
Para essas resoluções, dividiremos as equações em três casos, que, juntos, formam o método de completar quadrados utilizado para resolver equações do segundo grau.
1 – A equação do segundo grau é um trinômio quadrado perfeito
Toda equação do segundo grau que for um trinômio quadrado perfeito será também resultado de um dos produtos notáveis abaixo. O lado direito desses produtos, em vermelho, é chamado justamente de trinômio quadrado perfeito.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
(x – k)2 = x2 – 2kx + k2
Para encontrar os resultados desse tipo de equação, basta reescrevê-la como produto notável. Nas expressões dadas acima, produto notável é o lado esquerdo da igualdade, em azul.
Observe o exemplo abaixo, em que comparamos os coeficientes “a”, “b” e “c” de uma equação do segundo grau com os valores de 2k e k2 nos produtos notáveis anteriores.
Exemplo: Calcule as raízes da equação do segundo grau x2 + 18x + 81 = 0.
Para ter certeza de que uma equação é trinômio quadrado perfeito, observe se b = 2k e c = k2(não se esqueça de que “a”, “b” e “c” são coeficientes da equação do segundo grau e 2k e k2 são coeficientes do produto notável).
A equação desse exemplo possui a = 1, b = 2·9 e c = 92. Logo, pode ser reescrita da seguinte maneira:
x2 + 2·9·x + 92 = (x + 9)2 = 0.
Assim sendo, encontrar as raízes da equação do exemplo acima se torna tarefa fácil. Basta pensar em quais são os valores que x pode assumir para que x + 9 = 0.
x + 9 = 0
x = 0 – 9
x = – 9
Portanto, as duas raízes dessa equação são iguais, e o resultado é – 9. Para ter certeza dessa afirmação, lembre-se de que um produto entre dois termos só é igual a zero se um dos termos for igual a zero. Portanto, na multiplicação resultante de (x + 9)2 = 0, teremos:
(x + 9)2 = 0
(x + 9)(x + 9) = 0
O primeiro termo, em azul, é igual a zero, ou o segundo, em vermelho, é igual a zero. Como ambos são x + 9, então, para ambos, o resultado é x = – 9.
2 – A equação do segundo grau NÃO é um trinômio quadrado perfeito
Existem casos em que a equação do segundo grau não é um trinômio quadrado perfeito. Ainda assim é possível resolver essas equações seguindo esse método. Para tanto, considere, por exemplo, a equação abaixo, em que x é incógnita, k e r são números reais, com r diferente de k2.
x2 + 2k·x + r = 0
A equação acima só é trinômio quadrado perfeito se r = k2. Porém, o exemplo diz em seu texto que essa informação não é verdadeira.
Uma vez que falta apenas o termo k2 no primeiro membro da equação para que exista a possibilidade de escrevê-la como produto notável, vamos somá-lo nos dois membros dessa equação e “passar” o termo “r” para o segundo membro. Como estamos somando um número elevado ao quadrado que falta na equação original, esse procedimento recebe o nome de completar quadrados. Observe:
x2 + 2k·x + r + k2 = 0 + k2
x2 + 2k·x + k2 = 0 + k2 – r
x2 + 2k·x + k2 = k2 – r
No primeiro membro da equação, o que restou foi apenas um trinômio quadrado perfeito. Escreva-o na forma de produto notável para obter:
(x + k)2 = k2 – r
Por fim, para encontrar os valores de x, basta extrair a raiz quadrada em ambos os membros da equação:
√(x + k)2 = √(k2 – r)
x + k = ± √(k2 – r)
x = k ± √(k2 – r)
Observe que foi introduzido o símbolo ±. Esse símbolo indica que é necessário realizar os cálculos do valor de x utilizando um valor positivo de √(k2 + r) e um valor negativo de √(k2 – r). Dessa forma:
x = k + √(k2 – r) ou x = k – √(k2 – r)
Exemplo: Quais são as raízes da equação x2 + 18x – 19 = 0?
Solução: utilizando o método de completar quadrados, teremos:
x2 + 18x – 19 = 0
x2 + 18x – 19 + 81 = 0 + 81
x2 + 18x + 81 = 81 + 19
x2 + 18x + 81 = 100
(x + 9)2 = 100
√(x + 9)2 = ± √100
x + 9 = ± 10
x = ± 10 – 9
x = 10 – 9 = 1 ou
x = – 10 – 9 = – 19
3 – O caso em que o coeficiente “a” é diferente de 1
Repare que, nos exemplos e casos anteriores, os cálculos foram feitos considerando-se o coeficiente “a” da equação do segundo grau igual a 1. Nos casos em que “a” é diferente de 1, basta dividir toda a equação pelo valor de a. Observe:
2x2 + 36x – 18 = 0
Como a = 2, dividiremos toda a equação por 2.
2x2 + 36x – 18 = 0
2 2 2 2
x2 + 18x – 9 = 0
Isso fará com que a equação resultante tenha a = 1 e possibilitará o uso do método de completar quadrados.