Norma ou módulo de um vetor

O módulo de um número real “a” é um número real que indica o tamanho do segmento de reta das extremidades “0” e “a” ou a distância do ponto “a” até o ponto “0” na reta numérica. O módulo de um vetor, também conhecido como norma de um vetor, não difere em definição do módulo de um número real.

Para calcular o módulo de um número real, geralmente utilizamos a ideia de distância desse número até a origem. Origem é o ponto 0: aquele em que, à direita, ficam os números positivos e, à esquerda, os números negativos. Portanto, aquele que conhece a distância do ponto “a” até a origem “0” conhece também o módulo do número “a”.

A notação utilizada para representar a afirmação “módulo de a é igual à distância de a até a origem” é a seguinte:

|a| = d(a,0)

Na imagem acima, observe que |6| = 6, pois a distância de 6 até 0 é 6. Observe também que |–6| = 6, pois d(–6,0) = 6.

Módulo ou norma de um vetor

Vetores são objetos criados para observar direção, sentido e intensidade de movimento de objetos no espaço. Esse espaço não se restringe às três dimensões comumente estudadas no Ensino Médio, mas se trata de um espaço “n-dimensional”, isto é, o espaço em que os vetores são observados pode ter uma dimensão (esse espaço é chamado de reta), duas dimensões (plano), três dimensões (espaço), quatro dimensões (espaço-tempo) etc.

Os vetores são representados geometricamente por flechas. Geralmente eles partem da origem, e as coordenadas de seu ponto final são escritas para identificá-lo. Na imagem abaixo, o vetor v = (a,b), pois (a,b) é o ponto final do vetor v.

A norma ou módulo de um vetor é um número real que representa o comprimento desse vetor. Dessa forma, calcular a norma de um vetor é o mesmo que calcular a distância entre o ponto (a,b) e a origem (0,0). Utilizando |v| como notação para módulo do vetor v = (a,b), pertencente ao plano, teremos:

|v| = √(a² + b²)

Caso o vetor v = (a,b,c) pertença ao espaço tridimensional, seu módulo será encontrado desta forma:

|v| = √(a² + b² + c²)

Consequentemente, se o vetor v = (a, b, … ,n) pertencer a um espaço n-dimensional, a soma no interior da raiz quadrada terá n parcelas:

|v| = √(a² + ... + n²)

Exemplo: Para calcular a norma do vetor v = (3, – 4), utilize: |v| = √(a² + b²).

|v| = √(a² + b²)

|v| = √(3² + (– 4)²)

|v| = √(9 + 16)

|v| = √(25)

|v| = 5