Operações com vetores

As operações com vetores são as operações algébricas que podem ser realizadas com os valores das grandezas vetoriais. Graficamente, os vetores são setas, como a que está demonstrada na imagem anterior, representando visualmente as grandezas vetoriais e indicando seu módulo, direção e sentido, as três características dessas grandezas. A imagem anterior mostra um homem correndo e, acima dele, o vetor velocidade \(\vec{v}\), que possui módulo igual a 5 m/s, direção horizontal e sentido positivo para a direita.

No cálculo vetorial é levado em conta se os vetores envolvidos estão ou não na mesma direção e se são perpendiculares ou oblíquos. Para cada caso, um tipo de resolução é considerado, porém não se deve tratar apenas de interpretações matemáticas. Os vetores proporcionam interpretações físicas, já que o contexto é muito importante na resolução de cada problema.

Leia também: Operações com conjuntos — quais são elas?

Resumo sobre operações com vetores

• Nas operações com vetores, suas características módulo, direção e sentido são fundamentais para os cálculos.

• O módulo é o valor numérico associado ao vetor.

• A direção de um vetor equivale à sua posição no espaço.

• O sentido de um vetor equivale ao ponto para onde ele está direcionado, sendo o responsável por determinar se o vetor é positivo ou negativo.

• Para vetores na mesma direção, utiliza-se o conceito de soma ou subtração comum.

• Para vetores perpendiculares, o cálculo de soma e subtração envolve o teorema de Pitágoras.

• Para vetores oblíquos, a soma ou subtração inclui uma variação da lei dos cossenos: a regra do paralelogramo.

• Para multiplicação ou divisão de um vetor por um número real, basta realizar a operação desejada como o módulo do vetor

• Para a decomposição de vetores, considera-se a possibilidade de eles serem decompostos em dois outros vetores, na horizontal (componente x) e vertical (componente y).

Afinal, o que é um vetor?

Um vetor ou grandeza vetorial é uma grandeza física dotada de três características básicas, porém muito importantes: módulo, direção e sentido. Observe as características aplicadas no vetor deslocamento da imagem a seguir.

• Módulo: o valor numérico associado ao vetor, geralmente acompanhado de uma unidade de medida. No caso da figura anterior, o módulo do vetor é 8 metros.

• Direção: a posição do vetor no espaço, ou seja, horizontal, vertical ou diagonal. O vetor do exemplo representa um deslocamento na horizontal.

• Sentido: a orientação do vetor, que determina seu sinal. Geralmente, considera-se o sentido para a direita e para cima como positivo e para a esquerda e para baixo como negativo, porém isso pode variar de problema para problema. Para o vetor deslocamento apresentado, o sinal é positivo, já que seu sentido é para a direita.

Operações com vetores

As operações com os vetores são as operações algébricas que podem ser feitas com os valores das grandezas vetoriais, influenciadas não apenas pelo seu módulo, mas também pela sua direção e sentido. O resultado das operações com vetores é chamado de vetor resultante, e a forma de obtê-lo varia de um caso para outro. O sentido físico do vetor resultante é a combinação de dois ou mais vetores.

→ Soma e subtração de vetores na mesma direção

Quando os vetores estão na mesma direção, considera-se seu módulo e sentido e é feita a operação de soma ou subtração básica, lembrando sempre do jogo de sinais. Quando dois vetores se combinam em uma mesma direção e sentido, o resultante é um vetor de módulo superior aos dos anteriores. Caso os sentidos sejam diferentes, o resultante terá módulo inferior aos originais.

• Exemplo:

Considere os quatro vetores da imagem a seguir e calcule a soma entre os vetores A e B e a diferença entre os vetores C e D.

Resolução:

A = 5 m (positivo, por ter sentido para cima)

B = 12 m (positivo, por ter sentido para cima)

C = 8 N (positivo, por ter sentido para a direita)

D = -3 N (negativo, por ter sentido para a esquerda)

R_AB = ?

R_CD = ?

Primeiramente, foi pedida a soma entre A e B, logo:

\(R_{AB}=A+B=5+12=17\ m\)

Depois, foi pedida a diferença entre C e D:

\(R_{CD}=C-D=8-\left(-3\right)=8+3=11\ N\)

→ Soma e subtração de vetores perpendiculares

Se os vetores são perpendiculares, isso implica que o ângulo entre eles é reto, ou de 90°. Seria o mesmo que considerar que um vetor está na horizontal e o outro na vertical. Nesse caso, para a soma deles é utilizado o teorema de Pitágoras.

\(\vec{R}=\vec{A}+\vec{B}\rightarrow R^2=A^2+B^2\)

No caso da subtração a regra é a mesma, o que se muda é o vetor resultante.

\(\vec{R}=\vec{A}-\vec{B}\rightarrow\vec{R}=\vec{A}+(-\vec{B})\)

Observe:

• Exemplo:

Considere os deslocamentos A, B e C realizados por Erisvaldo para ir da sua casa ao supermercado. O deslocamento A equivale a 900 m, o deslocamento B equivale a 800 m e o deslocamento C equivale a 300 m. Calcule o módulo, direção e sentido do vetor deslocamento resultante desse trajeto.

Resolução:

A = 900 m

B = -800 m (está apontando para baixo)

C = -300 m (está apontando para a esquerda)

R = ?

Nesse problema existem dois vetores na horizontal, mas em sentidos opostos, e um na vertical. Primeiramente, deve-se trabalhar com os vetores que estão na mesma direção, ou seja, A e C.

R_AC = A + C = 900 + (-300) = 900 – 300 = 600 m

Como o resultante entre A e C foi positivo, ele é direcionado para a direita. Sendo assim, a figura tem o formato a seguir:

Como agora há a soma de vetores em direções perpendiculares, utiliza-se o teorema de Pitágoras.

\(R^2=\ R_{AC}^2+B^2={600}^2+(-{800)}^2=3600+6400\)

\(R^2=10000\)

Como a incógnita está elevada ao quadrado, acrescenta-se uma raiz quadrada em ambos os lados da equação. Dessa forma, o expoente e o radical serão anulados.

\(\sqrt{R^2}=\sqrt{10000}\)

\(R=100\ m\)

O módulo do vetor é 100 m. Como trata-se da combinação de um vetor horizontal no sentido para a direita e de um vertical no sentido para baixo, sua direção é diagonal, e seu sentido, para sudeste, ou seja, descendo diagonalmente para a direita.

→ Soma e subtração de vetores oblíquos

Para vetores oblíquos, que são aqueles cujos ângulos entre os vetores são diferentes de 0°, 90° ou 180°, o módulo do vetor resultante é obtido utilizando uma variação da lei dos cossenos aprendida na Matemática, chamada de regra do paralelogramo.

É importante ressaltar que nessa regra os vetores têm a mesma origem, e o vetor resultante é desenhado entre os vetores originais tendo a mesma posição da partida. O vetor resultante terá um módulo maior que os vetores originais, e quanto menor o ângulo entre eles, maior será o modulo do resultante. Na figura a seguir é demonstrada a formação do vetor resultante R, que se origina entre os vetores A e B, posicionados obliquamente.

\(\vec{R}=\vec{A}+\vec{B}\rightarrow R^2=A^2+B^2+2\cdot A\cdot B\cdot cos\theta\)

No caso da subtração, a consideração é a mesma que a adotada no teorema de Pitágoras, isto é, acrescenta-se sinal negativo no vetor e conserva-se o sinal da equação.

• Exemplo:

Em um jogo de sinuca, após a tacada inicial, a bola 8 foi acertada simultaneamente pelas bolas 2 e 5, como demonstrado a seguir. Considere a força aplicada pela bola 5 como vetor A com módulo igual a 8 N, a força exercida pela bola 2 como o vetor B de módulo igual a 12 N e que o ângulo entre as forças A e B é igual a 60°. Calcule o módulo do produto 5R, sendo que R é o vetor que representa a força resultante sobre a bola 8.

Dados: cos 60° = 0,5 e \(\sqrt{19}\approx4\)

Resolução:

A = 8 N

B = 12 N

cos 60° = 0,5

4R = ?

Como o ângulo entre os vetores A e B é de 30°, considera-se que são oblíquos. Dessa forma, utiliza-se a regra do paralelogramo. 

\(R^2=A^2+B^2+2\cdot A\cdot B\cdot cos30°\)

\(R^2=8^2+{12}^2+2\cdot8\cdot12\cdot0,5\)

\(R^2=64+144+96\)

\(R^2=304\)

A incógnita está elevada ao quadrado, então acrescenta-se uma raiz quadrada em ambos os lados da equação para anular o expoente e o radical.

\(\sqrt{R^2}=\sqrt{304}\)

\(R=\sqrt{304}\)

Como 304 não possui raiz quadrada exata, é necessário fazer sua fatoração (decomposição em fatores primos).

\(\left.\begin{matrix}\ \\304\\\begin{matrix}152\\76\\\begin{matrix}38\\19\\1\\\end{matrix}\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right|\begin{matrix}2\\2\\\begin{matrix}2\\2\\19\\\end{matrix}\\\end{matrix}\)

A cada par de números iguais há um quadrado, ou seja, 2·2 = 2². Assim, reescrevendo os fatores primos na raiz, ela ficará da seguinte forma:

\(R=\sqrt{304}=\sqrt{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot19}=\sqrt{2^2\cdot2^2\cdot19}=2\cdot2\cdot\sqrt{19}\)

Os dois números 2 foram para fora da raiz pelo fato de a potência 2 anular o índice da raiz. Lembrando também que \(\sqrt{19}\approx4\).

\(R=4\cdot4=16\ N\)

Como foi pedido o produto 5R, basta multiplicar 5 pelo módulo de R.

\(R=5\cdot16=80\ N\)

→ Multiplicação e divisão de um vetor por um número real

Para multiplicação ou divisão de um vetor por um número real, basta apenas realizar a operação desejada como o módulo do vetor. Logo, as demais características dos vetores conservam-se.

• Exemplo:

O vetor da imagem a seguir representa a velocidade vetorial de um carro durante uma viagem. Em determinado momento, quando o motorista pisou no acelerador, essa velocidade foi dobrada; quando freou, foi reduzida para um terço da segunda velocidade, e ele e a manteve até chegar ao seu destino. Com qual velocidade o carro findou o seu trajeto?

Resolução:

V = -30 m/s (negativa, por apresentar sentido para a esquerda)

V2 = 2·V

V3 = \(\frac{V2}{3}\) = ?

\(V2 = 2\cdot V = 2\cdot(-30) = - 60\ m/s\)

V3 = \(\frac{V2}{3}=\frac{-60}{3}=-20\ m/s\)

A velocidade no final do trajeto é de -20 m/s.

→ Decomposição de vetores

Os vetores possuem como característica a possibilidade de serem decompostos em dois outros vetores, horizontal (componente x) e vertical (componente y).

• Exemplo 1:

Um exemplo é o lançamento oblíquo de um objeto.

O vetor velocidade inicial v_o que está na diagonal foi decomposto em dois vetores: v_{ox e} v_oy. Considerando o ângulo entre v_o e v_ox e fazendo associação com as relações trigonométricas, a horizontal será o cateto adjacente e a vertical será equivalente ao cateto oposto. Dessa forma, podemos reescrever as componentes da seguinte forma:

\(v_{ox}=v_o\cdot\cos{\theta}\)

\(v_{oy}=v_o\cdot sen\ \theta\)

\(v_o^2=v_{ox}^2+v_{oy}²\)

• Exemplo 2:

Um outro exemplo seria a força peso P em um corpo que se encontra em um plano inclinado.

Como a força peso está na vertical, ela foi decomposta em duas forças diagonais, e o mesmo ocorreria se a força estivesse na horizontal. Como a componente em amarelo está no mesmo sentido do deslocamento, foi considerada a componente horizontal (Px), e sendo a componente cinza perpendicular ao deslocamento, foi considerada a vertical (Py).

Pelas relações de soma de ângulos internos de um triângulo retângulo, o ângulo θ entre a horizontal e o plano inclinado é o mesmo que é o formado entre P e Py. Assim, a relação trigonométrica entre os vetores decompostos será a seguinte:

\(Px=P\cdot sen\ \theta\)

\(Py=P\cdot\cos{\theta}\)

\(P^2=Px^2+Py²\)

Saiba também: Operações com frações — como resolver?

Exercícios resolvidos sobre operações com vetores

Questão 1

Durante uma competição de força física, Equivaldo disse que era mais forte do que Bruênio e Teovisky juntos, e estes dois resolveram testar a veracidade da afirmação em um cabo de guerra de três pontas, como demonstrado na figura a seguir.

Equivaldo aplicou uma força de 500 N, e Teovisky e Bruênio aplicaram forças respectivamente iguais a 300 N e 400 N. Considerando que a combinação Teovisky e Bruênio fornecerá um vetor na mesma direção de Equivaldo, é correto afirmar que o vetor resultante entre as três forças terá módulo igual a:

Dado: cos 30° = 0,8

A) 160 N, com a vitória de Equivaldo

B) 400 N, com a vitória de Teovisky e Bruênio

C) 165 N, com a vitória de Teovisky e Bruênio

D) 200 N, com a vitória de Equivaldo

E) 100 N, com a vitória de Teovisky e Bruênio

Resolução:

Alternativa C

Primeiramente, é necessário calcular o vetor resultante V_R1 entre Teovisky (A) e Bruênio (B). Como o ângulo entre eles é de 30°, trata-se de um caso de vetores oblíquos, portanto aplica-se a regra do paralelogramo.

A = 300 N

B = 400 N

cos 30° = 0,8

R₁ = ?

\(R_1^2=A2+B2+2\cdot A\cdot B\cdot cos30\)

\(R_1^2=3002+4002+2\cdot300\cdot400\cdot0,8\)

\(R_1^2=90000+160000+192000\)

\(R_1^2=442000\)

Como a incógnita está elevada ao quadrado, acrescenta-se raiz quadrada em ambos os lados da equação para anular o expoente e o radical:

\(\sqrt{R1^2}=\sqrt{442000}\)

\(R_1=664,8\ N\approx665\ N\)

Como as forças aplicadas por Teovisky e Bruênio estavam no sentido da direita para a esquerda, ambas são negativas, e consequentemente seu vetor resultante também será (-665 N). Como a questão determinou que a força resultante entre os dois estaria no mesmo sentido que a de Equivaldo (F_E), o vetor resultante total será dado pela soma de vetores na mesma direção, porém em sentidos opostos, já que Equivaldo está aplicando a força no sentido oposto ao dos seus adversários.

\(R_t=F_E+R_1=500+\left(-665\right)=500-665=-165\ N\)

Como o vetor resultante total é negativo, isso indica que a força que Teovisky e Bruênio aplicaram juntos superou a força solitária de Equivaldo.

Questão 2

Durante a cobrança de um escanteio em um jogo de futebol, um jogador chutou a bola, e o seu trajeto descreveu uma parábola, em um lançamento oblíquo. As componentes vertical e horizontal da velocidade com que a bola foi chutada são respectivamente iguais a 50 m/s e 87 m/s. Considerando a tabela a seguir com valores de cosseno, o ângulo formado entre o chão e o deslocamento diagonal da bola foi de:

A) 30°

B) 60°

C) 0°

D) 10°

E) 45°

Resolução:

Alternativa A

Extraindo os dados

v_ox = 87 m/s

v_oy = 50 m/s

Primeiramente, é necessário calcular o valor de v_o ou vetor velocidade inicial resultante. Como os vetores são perpendiculares, utiliza-se o teorema de Pitágoras:

\(v_o^2=v_{ox}^2+v_{oy^2}\)

\(v_o^2=87^2+50^2\)

\(v_o^2=7569+2500\)

\(v_o^2=1069\)

A incógnita está elevada ao quadrado, então acrescenta-se raiz quadrada em ambos os lados da equação:

\(\sqrt{v_o^2}=\sqrt{1069}\)

\(v_0=100,3\approx100\ m/s\)

Como foram fornecidos valores de cosseno, a relação trigonométrica do lançamento oblíquo que envolve o cosseno é a componente horizontal v_ox:

\(v_{ox}=v_o\cdot\cos{\theta}\)

\(87=100\cdot\cos{\theta}\)

Invertendo os dois lados da equação para a incógnita ficar antes da igualdade:

\(100\cdot\cos{\theta}=87\)

\(\cos{\theta}=\frac{87}{100}=0,87\)

O valor de cosseno que coincide com 0,87 é o de 30°, logo o ângulo formado entre deslocamento da bola com o chão foi de 30°.