Propriedades da multiplicação e da adição para o cálculo mental

Adição e multiplicação são operações matemáticas que apresentam algumas propriedades pouco exploradas no Ensino Fundamental e Médio. Elas podem contribuir de maneira significativa para o cálculo mental e agilizar as resoluções de diversos exercícios. A seguir mostraremos algumas dessas propriedades e daremos dicas de como utilizá-las.

• Associatividade

Sejam a, b e c números reais quaisquer, a propriedade associativa da adição é a seguinte:

(a + b) + c = a + (b + c)

A propriedade associativa da multiplicação é a seguinte:

(a·b)·c = a·(b·c)

Em outras palavras, em uma “cadeia de adições”, tanto faz o número que será somado primeiro. O resultado final será igual. Observe o exemplo abaixo:

24 + 13 + 7

Utilizando a propriedade acima, teremos o seguinte:

(24 + 13) + 7 = 24 + (13 + 7) = 24 + 20 = 44

• Comutatividade

Sejam a e b números reais quaisquer, a propriedade comutativa da adição é a seguinte:

a + b = b + a

E a propriedade comutativa da multiplicação é a seguinte:

a·b = b·a

Em outras palavras, essa propriedade garante que o resultado de uma multiplicação ou de uma soma será o mesmo independentemente da ordem dos fatores. Por exemplo:

32·60 = 60·32 = 1920

• Comutatividade + associatividade = cálculo mental

Se as duas propriedades acima forem combinadas, especialmente para a adição, é possível calcular algumas expressões numéricas de maneira muito mais fácil. Observe o exemplo:

22 – 5 + 7 + 18 – 5 + 24 + 13

Pela comutatividade, podemos reescrever a expressão acima da seguinte maneira:

22+ 18 + 13 + 7 + 24 – 5 – 5

Já pela associatividade, podemos escolher a ordem de adição que torna os cálculos acima mais fáceis. Veja um exemplo:

(22+ 18) + (13 + 7) + (24 – 5 – 5)

40 + 20 + (24 – 5 – 5)

Observe que podemos usar a propriedade associativa mais uma vez nos números que já estão dentro dos parênteses. Somaremos os números negativos primeiro, depois diminuiremos o resultado de 24:

40 + 20 + (24 – 5 – 5)

40 + 20 + (24 – 10)

40 + 20 + 14

60 + 14

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• Multiplicação por potências ou múltiplos de 10

As potências de 10 são 10, 100, 1000, … que podem ser escritos na forma: 10¹, 10², 10³, …

Não é necessário realizar todo o processo do algoritmo da multiplicação quando ela envolver um desses números. Para realizar essa multiplicação, coloque no final do outro fator a quantidade de zeros (ou o expoente da potência de 10) que o multiplica. Por exemplo:

125·10000 = 1250000

Basta adicionar quatro zeros após o 125. Esse será o resultado da multiplicação acima.

Quando a multiplicação envolve múltiplos de 10, o procedimento é parecido, mas depende de um passo inicial.

Conte quantos zeros os múltiplos de 10 possuem e multiplique apenas sua parte inicial, que possui outros algarismos. Os zeros que foram contados devem ser colocados ao final desse resultado parcial, como no exemplo seguinte:

432 000 ·50500 

Observe que, para esse cálculo, só devem ser “separados” os zeros que aparecem após o último algarismo não nulo do número. Nesse exemplo, eles estão destacados em vermelho.

Faça a multiplicação a seguir e coloque 5 zeros no final do resultado parcial.

432·505 = 21816000000

Esse será o resultado da multiplicação solicitada no início.

• Propriedade distributiva

Dados os números reais a, b e c, a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição diz o seguinte:

a(b+ c) = a·b + a·c

Essa propriedade pode ser usada da seguinte maneira:

Caso seja necessário realizar uma multiplicação de dois fatores, é possível decompor um dos fatores em uma soma, multiplicar separadamente e somar os resultados depois. Observe o exemplo abaixo:

432·50 =

(400 + 30 + 2)·50 =

400·50 + 30·50 + 2·50 =

Utilizando a multiplicação por múltiplos de 10, podemos afirmar que 400·50 = 4·5(000) = 20000. Esses cálculos podem ser feitos mentalmente com tranquilidade. Basta multiplicar 4 por 5 e adicionar 3 zeros ao resultado. Desse modo, 30·50 = 1500 e 2·50 = 100. Logo:

400·50 + 30·50 + 2·50 =

20000 + 1500 + 100 =

21600

Essa última adição também pode ser feita mentalmente com tranquilidade.

As outras duas propriedades da multiplicação e da adição estão ligadas à existência de elemento neutro e à existência de elemento inverso, entretanto, elas não contribuem de maneira significativa ao cálculo mental. Mais informações sobre elas podem ser encontradas no texto “Propriedades da multiplicação dos números inteiros”.