Raízes complexas de uma equação polinomial

Ao resolver uma equação polinomial p(x) = 0, podemos identificar várias raízes e, dentre elas, destacam-se as raízes complexas. Se um número complexo z é raiz de uma equação polinomial de grau n (n > 1, n  ), então o conjugado de z é também raiz da equação. Em toda equação polinomial, quando houver raízes complexas, o seu número será sempre par em razão do conjugado.

Antes de vermos alguns exemplos de raízes complexas, vamos relembrar alguns conceitos dos números complexos. Um número complexo z é escrito na forma z = a + b.i e seu conjugado z é representado na forma z = a – b.i. Devemos ter cuidado ao realizar operações com os números complexos, veja alguns exemplos:

Adição e Subtração:

Nas operações de adição e subtração, devemos operar a parte real de um complexo com a parte real de outro, enquanto a parte imaginária de um só é operada com a parte imaginária do outro. Considere os números complexos z₁ = a + bi e z₂ = c + di:

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d).i
z₁ – z₂ = (a – c) + (b – d).i

Multiplicação:

Devemos aplicar a propriedade distributiva para todos os elementos dos complexos:

z₁ . z₂ = ac – bd + (ad + bc).i

Operações com Conjugados:

Observe como são feitas as operações com conjugados de um número complexo

Como encontrar raízes complexas em uma equação polinomial?

Vamos resolver a seguinte equação polinomial: x⁴ – 2x² + 16x – 15 = 0, sabendo que z = 1 + 2i é solução da equação.

Se z = 1 + 2i é solução da equação, então seu conjugado z = 1 – 2i também é solução. Sendo assim, o produto (x – z).(x – z) divide o polinômio p(x) = x⁴ – 2x² + 16x – 15:

(x – z).(x – z) = [x – (1 + 2i )] [x – (1 – 2i)]

(x – z).(x – z) = (x – 1 – 2i).(x – 1 + 2i)

(x – z).(x – z) = x² – x + 2xi – x + 1 – 2i – 2xi + 2i – (2.i)²

(x – z).(x – z) = x² – 2x + 1 – 4.(√– 1)²

(x – z).(x – z) = x² – 2x + 5

Dividindo o polinômio x⁴ – 2x² + 16x – 15 por x² – 2x + 5, obtemos a equação polinomial: x² + 2x – 3 = 0. Já essa equação pode ser facilmente resolvida através da fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = 2² – 4.1.(– 3)

Δ = 4 + 12

Δ = 16

x = – b ± √Δ
       2.a

x = – 2 ± √16
        2.1

x = – 2 ± 4
        2

x₁ = – 2 + 4
         2

x₁ = 2
       2

x₁ = 1

x₂ = – 2 – 4
        2

x₂ = – 6
        2

x₂ = – 3

Portanto, o conjunto solução da equação polinomial x⁴ – 2x² + 16x – 15 = 0 é S = {– 3, 1, 1 + 2i, 1 – 2i}.