Subconjuntos e relação de inclusão

Um conjunto é uma reunião de objetos que possuem características comuns. Dessa forma, conjuntos numéricos são aqueles cujos elementos são números. Os subconjuntos também são conjuntos, entretanto, caracterizam-se por estar totalmente incluídos em outro conjunto qualquer. Em razão disso, a relação entre um conjunto e os seus subconjuntos é conhecida como relação de inclusão.

Exemplo de conjunto e subconjuntos

A seguir, observe exemplos de conjuntos numéricos e de alguns subconjuntos existentes neles.

O conjunto dos números naturais é formado pelo zero e por todos os números inteiros positivos. Sendo assim, podemos escrever os elementos do conjunto dos números naturais da seguinte maneira:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}

O conjunto dos números pares não negativos P é um subconjunto dos números naturais, pois todos os seus elementos também pertencem a ele.

P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …}

O conjunto dos números naturais ímpares não negativos também é subconjunto dos números naturais, pois todos os seus elementos pertencem a ele.

Definição de subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se todos os elementos de B também forem elementos de A. Nesse caso, temos:

Podemos ler essa definição da seguinte maneira: B é subconjunto de A se, e somente se, para todo x, se x pertence ao conjunto A, então x pertence ao conjunto B.

A primeira parte também pode ser lida como B está contido em A. Note que a relação entre esses dois conjuntos é de inclusão, portanto, um conjunto Z pode conter ou não conter um conjunto Z’ ou o conjunto Z’ pode estar contido ou não estar contido no conjunto Z.

Quando a relação é definida para elementos, deveremos usar outra relação, chamada de relação de pertinência: o elemento x pertence ou não pertence ao conjunto Z.

Relação de inclusão

Observe os símbolos abaixo e, logo em seguida, seus significados:

O símbolo 1 é chamado de sinal de inclusão. A relação de inclusão, como dito anteriormente, só existe entre conjuntos. Entre um elemento e um conjunto, a relação usada deve ser é a de pertinência.

O símbolo 2 é o sinal de inclusão cortado. Ele é usado quando um conjunto não está contido em outro.

O símbolo 3 é o sinal de inclusão invertido. O conjunto à sua direita contém o conjunto à sua esquerda.

O símbolo 4 é sinal de inclusão invertido e cortado. O conjunto à sua direita não contém o conjunto à sua esquerda.

Todo conjunto tem dois subconjuntos triviais: o próprio conjunto e o conjunto vazio.