Conjunto dos números inteiros

O conjunto dos números inteiros surgiu devido à necessidade da ampliação do conjunto dos números naturais, incluindo-se nele os números negativos. Os números inteiros podem ser representados na reta, possuindo sucessor e antecessor bem definidos. A ideia de que todo número natural possui um oposto, que é igual a esse número só que negativo, é desenvolvida no conjunto dos números inteiros, pois o oposto ou simétrico de um número está na mesma distância do zero na reta numerada. O módulo de um número representa a distância, sempre positiva, desse número até o zero na reta.

O domínio das operações entre os números negativos é essencial, pois na soma e na subtração de números inteiros de sinais diferentes, realizamos a subtração e conservamos o sinal do maior, e quando os sinais forem iguais, realizamos a soma e conservamos o sinal. Já na multiplicação e divisão, é necessário realizarmos o jogo de sinal. O conjunto dos números inteiros possui subconjuntos, como o conjunto dos números naturais, que está contido nos números inteiros, ou o conjunto dos inteiros positivos.

Elementos do conjunto dos números inteiros

Representado pela letra Z, o conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos números naturais. Com as civilizações, a matemática desenvolveu-se e surgiu-se a necessidade do domínio dos números negativos.

Atualmente é bastante comum percebermos a presença desses números negativos, como na medida de temperaturas abaixo de zero, nas relações monetárias, na medida de altitude, de fuso horário, ou até mesmo no calendário gregoriano, separado por anos anteriores a Cristo (negativos) e posteriores a Cristo (positivos).

Um número é conhecido como inteiro se ele for um número natural, n, ou o oposto de um número natural, –n.

Note que o conjunto dos números inteiros vai de menos infinito até mais infinito. Ele é uma ampliação dos naturais, pois todos os naturais são inteiros, e, além disso, foram-lhe acrescentados os números negativos.

Leia também: O que são conjuntos numéricos?

Subconjunto dos números inteiros

Conhecemos como subconjunto ou relação de inclusão, os conjuntos formados por elementos que pertencem ao conjunto dos números inteiros. Existem vários subconjuntos possíveis, como o conjunto de divisores de um número, o conjunto de números primos, o conjunto de números ímpares, enfim, podemos montar infinitos subconjuntos tendo como base o conjunto dos números inteiros.

• Exemplo

Conjunto dos números pares:

P= {… –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6 …}

Quando isso acontece, dizemos que P ⸦ Z (lê-se: P está contido em Z.).

Existem alguns símbolos essenciais para a criação de subconjuntos de Z, são eles +, – e *, que significam, respectivamente, positivo, negativo e não nulo.

• Exemplos

Z* = {… –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4 …} (lê-se: conjunto dos números inteiros não nulos).

Z₊ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...} (lê-se: conjunto dos números inteiros não negativos). Note que esse conjunto é o dos números naturais, que também é subconjunto dos inteiros.

Z_- = {… –3, –2, –1, 0} (lê-se: conjunto dos números inteiros não positivos).

Z^*₊ = {1, 2, 3, 4, 5 ...}(lê-se: conjunto dos números inteiros positivos).

Z^*_- = {… –3, –2, –1} (lê-se: conjunto dos números inteiros negativos).

Perceba que todos esses conjuntos são subconjuntos de Z, pois todos os elementos estão contidos no conjunto dos números inteiros.

Representação dos números inteiros na reta numérica

Para fazermos a representação dos números inteiros na reta, consideramos como a origem o meio da reta, que é onde está localizado o número 0. À direita de 0, ficam todos os números positivos, e, à esquerda de 0, todos os números negativos.

Todo número inteiro possui um sucessor e um antecessor bem definido. Assim como nos números naturais, sucessor é o que vem depois e antecessor é o número que vem antes. Por exemplo, o sucessor de 0 é 1, e o antecessor de 0 é –1. De modo geral, o sucessor de um número n é n + 1, e o seu antecessor é representado por n – 1. Para encontrarmos o sucessor de um número na reta, andamos uma unidade para a direita, e para encontrarmos o seu antecessor, andamos uma unidade para a esquerda.

Muitas pessoas confundem-se ao trabalharem com antecessor e sucessor de números negativos. Nesse sentido, note que, por exemplo, o sucessor de –4 é –3 e que o antecessor de –4 é –5.

Oposto ou simétrico

O número que está na mesma distância da origem da reta numérica é conhecido como oposto ou simétrico de um número. Seja n um número inteiro, o posto de n é igual a –n.

Módulo ou valor absoluto

O módulo ou valor absoluto de um número n, representado por |n|, é a distância que esse número tem até a origem, ou seja, a distância do número até o zero. Na prática, podemos separar em dois casos:

• Se n for positivo ou igual a zero, ou seja, n > 0 ou n = 0, então |n| é o próprio n.

• Se n for negativo, ou seja, n < 0, então |n| é igual a –n.

Em resumo, se o número for negativo, o módulo será esse número só que positivo, e se ele for positivo, o módulo será o próprio número.

De modo geral, temos que:

• |n| = n → se n for positivo.

• |n|= –n → se n for negativo.

• Exemplos

Quando n for positivo:

|0| = 0

|23| = 23

|5| = 5

|0,3| = 0,3

Quando n for negativo (aqui será feito de forma detalhada, para deixar claro a definição de módulo, mas esse calculo normalmente é feito de forma direta):

|–1| = – (–1) = 1

|–3| = – (–3) = 3

|–0,3| = – (–0,3) = 0,3

É importante entendermos a definição de módulo, porém, para calcular-se o módulo de um número negativo, esse cálculo pode ser feito de forma direta, apenas trocando-se o sinal do número. Como: |–2| = 2.

Leia também: Curiosidades sobre os números

Comparação de dois números inteiros

Ao compararmos dois números distintos, utilizamos os símbolos > (lê-se: maior que) ou < (lê-se: menor que). Nessa comparação, encontraremos os seguintes casos:

→ Zero é menor que qualquer número positivo e maior que qualquer número negativo.

• Exemplos

a) 0 > –2

b) –20 < 0

c) 3 > 0

d) 0 < 10

→ Um número positivo é sempre maior que um número negativo, e, pela lógica, um número negativo é sempre menor que um número positivo.

• Exemplos

a) 2 > –3

b) –2 < 5

→ Ao compararmos dois números inteiros positivos, ou seja, dois números naturais, aquele que está mais distante de zero é maior. Podemos dizem também que aquele que possui maior módulo será o maior entre eles.

• Exemplos

a) 4 > 1

b) 5 < 10

→ Ao comprarmos dois números inteiros negativos, precisamos saber que quanto mais próximo de zero, maior será o número, ou seja, aquele número que possui menor módulo é o maior deles.

• Exemplos

a) –10 < –1

b) –4 > –9

Operações entre números inteiros

• Adição

Na adição faremos a divisão de dois casos, quando os dois números forem ambos positivos ou ambos negativos. Muitos se confundem quanto na adição e na subtração ser necessário fazer-se jogo de sinal, porém o jogo de sinal é exclusivo da multiplicação e da divisão.

E quando essas parcelas forem uma positiva e outra negativa? No primeiro caso, quando os dois números possuem mesmo sinal, somamos as parcelas e conservamos o sinal.

• Exemplos

a) +4 + 6 = 10

b) –3 + (–8) = –11 ou –3 – 8 = –11

A adição não é distante da nossa realidade, ainda que seja feita por dois números negativos. É como se você já estivesse no primeiro subsolo de um elevador e desejasse descer mais dois andares, chegando ao terceiro subsolo, ou seja, –1 –2 = –3.

Agora no segundo caso, quando os números possuem sinais opostos, vamos subtrair e conservar o sinal do que possui maior módulo.

• Exemplos

a) –2 + 5 = +3 (pois 5 – 2 = 3, e, em módulo, 5 é maior que 2, então a resposta é positiva).

b) +4 + (–10) = –6 (pois 10 – 4 = 6, e, em módulo, 10 é maior que 4, então a resposta é negativa).

• Subtração

Para calcularmos a subtração, precisamos entender bem o símbolo “–”, o qual, subsequente de um número, significa o oposto desse número. As regras são as mesmas que usamos para a adição, porém precisamos, antes disso, atentar-nos a escrever o oposto da segunda parcela.

• Exemplo

a) Qual é o valor de +4 – (+9)?

Note que – (+9) é igual ao oposto de +9, que é igual a –9, então calculamos:

+4 – 9 = –5

b) Qual é o valor de 5 – (–2)?

Note que – (–2) é oposto de –2, que é igual a +2, então calculamos:

5 + 2 = 7

• Multiplicação

Para facilitarmos a multiplicação entre os números inteiros, é importante entendermos que, primeiro, faremos a multiplicação normalmente, como é feita nos números naturais, e posteriormente usaremos o que é conhecido como jogo de sinal.

O jogo de sinal da multiplicação diz que:

+ · + = + → O produto de dois números positivos é sempre positivo.

– · – = + → O produto de dois números negativos é sempre positivo.

+ · – = – → O produto de um número positivo por um número negativo é sempre negativo.

– · + = + → O produto de um número negativo por um número positivo é sempre negativo.

Em resumo, quando o produto é feito por números de sinais iguais, a resposta é positiva, quando os sinais são opostos, a reposta é negativa.

• Exemplos

a) (–2) · (–4) = + 8 (ambos negativos, sinais iguais, resposta positiva)

b) (–3) · (+3) = – 9 (sinais opostos, resposta negativa)

c) (+2) · (–5) = –10 (sinais opostos, resposta negativa)

d) (+4) · (+3) = +12 (ambos positivos, sinais iguais, resposta positiva)

No caso de termos mais de dois fatores, realizamos o jogo de sinal de dois a dois fatores. Por exemplo, vamos analisar o sinal do produto entre –n . (–m) . a . (–b). Analisando os sinais da expressão, temos, respectivamente: –, –, +, –. Agrupando de dois em dois, temos que:

– · – · +· – Sinais iguais geram um produto positivo.
+ · + · – Sinais iguais geram um produto positivo.
+ · – Sinais diferentes geram um produto negativo.

Portanto, podemos concluir que o produto entre esses fatores será negativo.

Veja também: Múltiplos e divisores: o que são?

• Divisão

A divisão usa o mesmo jogo de sinal que na multiplicação, logo, o raciocínio é bastante parecido com o que acabamos de ver.

+ : + = + → O quociente de dois números positivos é sempre positivo.

– : – = + → O quociente de dois números negativos é sempre positivo.

+ : – = – → O quociente de um número positivo por um número negativo é sempre negativo.

– : + = + → O quociente de um número negativo por um número positivo é sempre negativo.

• Exemplos

a) –60 : 20 = 3

b) 12 : (–3) = –4

c) –10 : –5 = 2

d) 8 : 8 = 1

Acesse também: Critérios de divisibilidade – ferramentas que facilitam o cálculo de divisão

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Das operações seguintes, todas possuem como resultado um número inteiro, exceto:

a) (–15 + 3) · 2

b) (– 4 + 3) : 2

c) + 8 – 2 – 4 · 2

d) (– 3 – 2) : 5

Resolução

Alternativa B

a) (–15 + 3) · 2

–12 · 2 = –24

Sabemos que –24 é um número inteiro.

b) (–4 + 3) : 2

– 1 : 2

Essa divisão é impossível no conjunto dos números inteiros, pois o resultado pertence ao conjunto dos números racionais.

c) + 8 – 2 – 4 · 2

+ 8 – 2 – 8

+ 6 – 8 = 2

Sabemos que 2 é um número inteiro.

d) (– 3 – 2) : 5

– 5 : 5 = –1

Sabemos que –1 é um número inteiro.

Questão 2 - (Banco de dados - OBMEP) O saldo da conta de Leandro era, em uma segunda-feira, R$340. Na terça-feira, ele fez um saque de R$500, na quarta-feira, depositou um cheque de R$200, e na quinta-feira, sacou R$120. Qual seria o saldo da conta de Leandro na sexta-feira?

a) Dívida de R$ 620

b) Saldo de R$ 30

c) Dívida de R$ 120

d) Saldo de R$ 80

e) Dívida de R$ 80

Resolução

Alternativa E.

Analisando o extrato da conta de Leandro, temos que:

340 – 500 + 200 – 120

– 160 + 200 – 120

40 – 120

– 80

Desse modo, na sexta-feira, Leandro estaria com uma dívida de R$ 80.