Propriedades dos números pares e ímpares

São exemplos de conjuntos numéricos o conjunto dos Números Naturais, que é formado pelos números positivos e pelo zero; Números Inteiros, formado pelos números inteiros negativos, positivos e pelo zero; e Números Racionais, formado pelo resultado da divisão de dois números inteiros; entre outros.

O conjunto dos números inteiros pode ser dividido em diversos subconjuntos. Dentre as divisões mais usuais estão:

a- Conjunto dos números naturais;

b- Conjunto dos números pares;

c- Conjunto dos números ímpares.

Qualquer número par pode ser escrito na forma 2n (2 vezes n). Por exemplo o número 8, que é par e pode ser escrito como 2*4.

Qualquer número ímpar pode ser escrito na forma 2n + 1, por exemplo o número 7, que é o mesmo que 2*3 + 1.

Partindo desse princípio, os números pares e ímpares possuem propriedades usadas para avaliar se algumas operações básicas entre eles resultam em números pares ou ímpares:

i- A soma ou subtração de dois números pares resulta em um novo número par.

Considere os números pares 2a e 2b, somaremos dois números pares diferentes:

2a + 2b =

2(a + b), fazendo (a + b) = m teremos:

2(a + b) = 2m

Ora, 2*m, que é o resultado da soma de dois números pares quaisquer, compartilha a fórmula acima e por isso também é um número par.

ii- A soma ou subtração de dois números ímpares resulta em um número par.

Tome dois números ímpares quaisquer, 2a + 1 e 2b + 1, e some-os para observas os resultados:

(2a + 1) + (2b + 1) =

2a + 1 + 2b + 1 =

2a + 2b + 1 + 1 =

2(a + b) + 2, fazendo (a + b) = c teremos:

2c+2 =

2(c + 1), fazendo c + 1 = m teremos:

2(c + 1) = 2m

Portanto, somando dois números ímpares, o resultado será um número par.

iii- A multiplicação de dois números pares terá como resultado um número par.

Considere dois números pares quaisquer 2a e 2b e multiplique-os:

2a*2b = 4ab, Fazendo ab = n teremos:

2a*2b = 2n que é um número par.

iv- A soma de um número par com um número ímpar tem como resultado um número ímpar.

Para demonstrar essa propriedade, considere 2a um número par qualquer e 2b + 1 um número ímpar qualquer e some-os:

2a + 2b + 1 =

2(a + b) + 1, fazendo (a + b) = n teremos:

2n + 1

Que é a fórmula que representa um número ímpar qualquer.

v- A multiplicação entre dois números ímpares tem como resultado outro número ímpar.

Considere os números ímpares quaisquer: 2a + 1 e 2b + 1

(2a + 1)*(2b + 1) =

4ab + 2a + 2b + 1

Observe que, independente dos valores de a e de b, no final existe a parcela “+1”, o que configura esse resultado como ímpar.