7º caso de fatoração: diferença de dois cubos

O sétimo caso de fatoração é semelhante ao 6º caso, a diferença é na operação entre os dois monômios que aqui nesse caso é uma subtração (diferença).

Observe a demonstração abaixo:

Dado dois números quaisquer x e y. Se subtrairmos ficará: x – y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números obteremos: x² + xy + y², assim, devemos multiplicar as duas expressões encontradas.

(x - y) (x² + xy + y²) é necessário utilizar a propriedade distributiva;

x³ + x²y + xy² - x²y –xy² - y³ unir os termos semelhantes;

x³ - y³ é uma expressão algébrica de dois termos, os dois estão elevados ao cubo e subtraídos.

Assim, podemos concluir que x³ - y³ é uma forma geral da soma de dois cubos onde
x e y podem assumir qualquer valor real.

A forma fatorada de x³ - y³ será (x - y) (x² + xy + y²).

Com o conhecimento de todos os casos de fatoração, quando for preciso fatorar alguma expressão algébrica devemos sempre observar em qual dos casos ela se enquadra, veja os exemplos de como fazer esse reconhecimento.

Exemplo:
Se tivermos que fatorar a seguinte expressão algébrica 27x³ – y³ devemos observar que ela tem dois termos. Lembrando dos casos de fatoração, o único caso que fatora dois termos é a diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e a diferença de dois cubos.

No exemplo acima os dois termos estão ao cubo e entre eles há uma subtração, então devemos utilizar o 7º caso de fatoração (diferença de dois cubos), para fatorarmos devemos escrever a expressão algébrica 27x³ – y³ da seguinte forma:
(x - y) (x² + xy + y²). Ao tirar as raízes cúbicas dos dois termos, temos: 27x³ – y³.

A raiz cúbica de 27x3 é 3x e a raiz cúbica de y3 é y. Agora, basta substituir valores, no lugar de x colocaremos 2x e no lugar de y colocaremos 3 na forma fatorada
(x - y) (x² + xy + y²) , ficando assim:

(3x – y) ((3x)² + 3x . y + y²)

(3x – y) (9x² + 3xy + y²)

Então, (2x – 3) (4x² + 6x + 9) é a forma fatorada da expressão algébrica 8x³ – 27.

Exemplo 2
Para resolvemos a fatoração utilizando a diferença de dois cubos devemos seguir os mesmos passos do exemplo anterior. Fatorando a expressão algébrica r³ – 64 temos: As raízes cúbicas de r³ é r e de 64 é 4, substituindo teremos no lugar de x o r e no lugar de y o 4.

(r – 4) (r² + 4r + 16) é a forma fatorada de r³ – 64.