6ºcaso de fatoração: Soma de dois cubos

O sexto caso de fatoração é a fatoração de uma expressão algébrica composta por dois monômios (seja um binômio) e entre eles há a operação de adição, esses dois monômios são elevados ao cubo (elevados à terceira potência).

Veja a demonstração de como foi encontrado esse caso de fatoração:

Dado dois números quaisquer x e y, se somarmos os dois obteremos x + y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números teremos x2 - xy + y2, agora devemos multiplicar as duas expressões encontradas.

(x + y) (x² - xy + y²) utilize a propriedade distributiva;

x³ - x²y + xy² + x²y –xy² + y³ una os termos semelhantes;

x³ + y³ é uma expressão algébrica de dois termos onde os dois estão elevados ao cubo e somados.

Assim, podemos concluir que x³ + y³ é uma forma geral da soma de dois cubos onde
x e y poderão assumir qualquer valor real.

A forma fatorada de x³ + y³ será (x + y) (x² - xy + y²).

Veja alguns exemplos:

Exemplo1:
27x³ + 1000 é a soma de dois cubos.

Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

(3x)³ + 10³, assim: x = 3x e y = 10
Agora, basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições.

(x + y) (x² - xy + y²)
(3x + 10) ((3x)² – 3x . 10 + 10²)
(3x + 10) (9x² – 30x + 100)

Portanto, a fatoração de 27x³ + 1000 será (3x + 10) (9x² – 30x + 100).

Exemplo 2:
x³ + 1 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

(x)³ + 13 assim: x = x e y = 1
Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.

(x + y) (x² - xy + y²)

(x + 1) ((x)² –x .1 + 12)

(x – 1) (x² –x + 1)

Exemplo 3:
8x³ + y³ é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

(2x)³ + y³ assim: x = 2x e y = y
Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.

(x + y) (x² - xy + y²)

(2x + y) ((2x)² – 2xy + y²)

(2x + y) (4x² – 2xy + y²)