Circunferência Inscrita no Quadrado

O cálculo de áreas na geometria está presente em diversas situações cotidianas. As unidades mais utilizadas na especificação de áreas são o metro quadrado (m²), quilômetro quadrado (km²) e o centímetro quadrado (cm²). Determinar a área de uma figura significa medir o tamanho de sua superfície, utilizando as medidas de suas dimensões: comprimento e largura.

Na geometria, cada figura regular está associada a uma expressão matemática capaz de determinar a medida de sua superfície. Mas em alguns casos, a determinação da área deve ser calculada utilizando duas ou mais expressões. Esse tipo de cálculo exige uma interpretação espacial da figura, diagnosticando o tipo de expressão que será usado no cálculo da área.

Exemplo 1
Determine a área destacada da figura, considerando que o raio da circunferência inscrita no quadrado seja igual a 4 metros.

Resolução

Área do quadrado é dada pela expressão: A = l²
Área da circunferência é dada pela expressão: A = π*r²

O raio da circunferência é igual a 4 metros, dessa forma seu diâmetro vale 8. A medida do lado do quadrado será correspondente ao diâmetro da circunferência, medindo 8 metros.

Área do quadrado
A = l²
A = 8²
A = 64 m²

Área da circunferência
A = π*r²
A = 3,14 * 4²
A = 3,14 * 16
A = 50,24 m²

A área da parte destacada é resultante da subtração entre a área do quadrado e a área da circunferência.
A = 64 – 50,24
A = 13,76 m²

Portanto, a área destacada é igual a 13,76 metros quadrados.


Exemplo 2

A figura a seguir representa uma peça de cerâmica para revestimento de pisos. Sabemos que a medida do raio de cada circunferência é igual a 10 cm. Determine a área em negrito, após o revestimento de uma sala retangular de dimensões 8m x 12m.

Área em negrito da cerâmica

Sabemos que o raio de cada circunferência mede 10 cm, portanto o diâmetro de cada circunferência medirá 20 cm. Existe uma relação entre o lado do quadrado e o diâmetro da circunferência, observe ilustração:

Para determinarmos a área em negrito da cerâmica devemos calcular a área do quadrado e subtrair das áreas das circunferências.

Área do quadrado (cerâmica)
A = l²
A = 40²
A = 1600 cm²

Área das circunferências
A = π * r²
A = 3,14 * 10²
A = 3,14 * 100
A = 314 cm²

314 * 4 = 1256 cm²

Área em negrito da cerâmica:

A = 1600 – 1256
A = 344 cm²


Precisamos calcular a área da sala revestida pela cerâmica, veja:

Área da sala = 12 x 8 = 96 m²


Cada cerâmica possui 1600 cm² de área, precisamos saber quantas peças serão gastas no piso da sala. Para isso precisamos dividir a área da sala pela área da cerâmica. Antes da divisão precisamos igualar as unidades de área, 1600 cm² é igual a 0,16 m². Portanto,
96 : 0,16 ~ 600 peças.

Agora basta multiplicarmos a área em negrito da cerâmica pelo número de peças que serão gastas no revestimento da sala.

600 * 344 = 206 400 cm² ou 20,64 m²

Portanto, após revestida a sala, a área em negrito corresponderá a 20,64 m².