Área do triângulo equilátero

A área do triângulo equilátero é a medida de sua superfície. A área do triângulo equilátero pode ser obtida pela expressão comum a todos os triângulos: metade do produto entre a base e a altura. No entanto, como o triângulo equilátero é formado por lados congruentes (ou seja, lados de mesma medida), é possível determinar uma expressão mais simples para o cálculo de sua área, que depende de seu lado.

Veja também: Como calcular a área do setor circular?

Resumo sobre área do triângulo equilátero

• O triângulo equilátero possui todos os lados de mesma medida.

• A área do triângulo equilátero pode ser obtida por meio da seguinte fórmula, comum a todos os triângulos:

\(Área\ do\ triângulo = \frac{base ‧ altura}2\)

• No entanto, uma maneira mais simples de encontrar a medida da área é calcular um quarto do produto \(l^2 ‧ \sqrt3\), sendo l a medida do lado do triângulo.

Qual a fórmula da área do triângulo equilátero?

A área de todo triângulo corresponde à metade do produto entre a base e a altura:

\(Área\ do\ triângulo = \frac{base ‧ altura}2\)

No caso específico do triângulo equilátero, como todos os lados têm a mesma medida, é possível construir uma fórmula mais direta, que depende exclusivamente do lado do triângulo.

Considere um triângulo equilátero ABC com lados de medida l, sendo CD a altura relativa ao vértice C, ou seja, a distância entre C e o lado AB. Como ABC é um triângulo equilátero, o segmento CD é, além de altura, a mediana no triângulo. Isso significa que D é ponto médio do lado AB.

Ainda, perceba que a medida h da altura CD pode ser encontrada com a aplicação do teorema de Pitágoras em um dos triângulos retângulos formados a partir de CD: ADC ou DBC. Observe que esses triângulos são congruentes: possuem um cateto de medida h, um cateto de medida \(\frac{l}2\) e uma hipotenusa de medida l.

Aplicando Pitágoras em um desses triângulos, temos:

\(h^2+(\frac{l}{2})^2=l^2\)

\(h^2=l^2-\frac{l^2}4\)

\(h^2=\frac{l^2 ‧ 3}4\)

\(h=\frac{l ‧ \sqrt3}2\)

Com essa informação, podemos utilizar a expressão para a área de um triângulo qualquer e obter uma fórmula específica para a área do triângulo equilátero:

\(Área\ do\ triângulo = \frac{base ‧ altura}2\)

\(Área\ do\ triângulo\ equilátero= \frac{l ‧\frac{l ‧ \sqrt{3}}{2}}2\)

\(Área\ do\ triângulo\ equilátero= \frac{\frac{l^2\sqrt{3}}{2}}2\)

\(Área\ do\ triângulo\ equilátero=\frac{l^2 ‧ \sqrt3}4\)

Como se calcula a área do triângulo equilátero?

Para calcular a área do triângulo equilátero, é necessário utilizar sua fórmula. Veja o exemplo a seguir.

• Exemplo:

Considere um triângulo equilátero de lado l = 3 cm. Qual a medida da área desse triângulo?

Resolução:

Perceba que basta utilizarmos a fórmula da área do triângulo equilátero:

\(Área\ do\ triângulo\ equilátero=\frac{l^2 ‧ \sqrt3}4=\frac{3^2 ‧ \sqrt3}4=\frac{9 ‧ \sqrt3}4 cm^2\)

Leia também: Como calcular a área do hexágono regular?

Exercícios resolvidos sobre área do triângulo equilátero

Questão 1

Sendo ABC um triângulo equilátero com altura \(\frac{8\sqrt3}2\) cm, qual a área desse triângulo?

Resolução:

Lembre-se de que a altura de um triângulo equilátero é dada por \(\frac{l ‧ \sqrt3}2\), em que l é a medida do lado do triângulo. Como a altura é \(\frac{8\sqrt3}2\), então l = 8 cm.

Assim, aplicando a fórmula para a área do triângulo equilátero, temos:

\(Área\ do\ triângulo\ equilátero=\frac{l^2 ‧ \sqrt3}4=\frac{8^2 ‧ \sqrt3}4=16\sqrt{3}\ cm^2\)

Questão 2

Considere um triângulo equilátero com perímetro medindo 45 cm. Qual a medida aproximada da área desse triângulo? (Utilize a aproximação \(\sqrt3=1,732\).)

Resolução:

O perímetro de um triângulo equilátero é a soma de seus três lados iguais. Sendo l a medida de cada lado, temos que \(3\cdot l=45\) cm e, portanto, l = 15 cm.

Com essa informação, podemos aplicar a fórmula para a área do triângulo equilátero:

\(Área\ do\ triângulo\ equilátero=\frac{l^2 ‧ \sqrt3}4=\frac{15^2 ‧ 1,732}4=97,425\ cm^2\ (aprox.)\)