Áreas de figuras planas

Área é a medida da superfície de uma figura plana. Para encontrar a medida da área, utilizamos fórmulas específicas que levam em consideração o formato da figura. Os principais polígonos e também a circunferência possuem, cada um deles, uma fórmula específica para que seja possível calcular a sua área. Os principais polígonos são os triângulos, retângulos, quadrados, trapézios e losangos.

A área é objeto de estudo da geometria plana, pois calculamos a área somente de regiões planas, ou seja, bidimensionais.

Leia também: Diferenças entre figuras planas e espaciais

Resumo sobre áreas de figuras planas

• Área é uma grandeza que representa a medida da superfície de uma figura plana.

• Cada figura plana possui uma fórmula específica para o calculo de área.

• As fórmulas para calcular a área das principais figuras planas são:

  

Videoaula sobre áreas de figuras planas

Principais figuras planas

Para compreender como calcular a área de cada uma das figuras planas, é importante rever quais são as principais figuras planas e as suas características.

• Triângulo

Começando pelo polígono mais simples de todos, o triângulo é o polígono formado por três lados e três ângulos. Os elementos importantes para o cálculo da área de um triângulo é a sua base (b) e a sua altura (h).

• Quadrado

Partindo para os polígonos que possuem quatro lados, o quadrado é o primeiro deles. Tido como um polígono regular, possui todos os lados e ângulos congruentes entre si. Para calcular a área de um quadrado, o único elemento importante é o comprimento do seu lado (l).

• Retângulo

Chamamos de retângulo o quadrilátero que possui todos os ângulos medindo 90º, ou seja, retos. Para calcular a área de um retângulo, é importante conhecer o comprimento da sua base e da sua altura.

• Losango

Classificamos como losango o quadrilátero que possui todos os lados congruentes. Diferentemente de todos os outros polígonos, para calcular a área do losango, é necessário conhecer o comprimento das suas diagonais: a diagonal maior D e a diagonal menor d.

• Trapézio

Conhecemos como trapézio o quadrilátero que possui dois lados paralelos e dois lados não paralelos. Para encontrar a área de um trapézio, é necessário conhecer o comprimento das suas bases e da sua altura.

• Círculo

O círculo não é considerado um polígono, em razão do formato arredondado que ele possui, fato esse que não diminui a importância e a vasta aplicação dessa figura plana. Para calcular a área de um círculo, é necessário conhecer somente o comprimento do seu raio r.

Leia também: Quadriláteros — polígonos que possuem quatro lados

Fórmulas de área de figuras planas

Cada figura plana possui uma fórmula específica para o cálculo da sua área. Vejamos cada uma delas.

• Área do triângulo

Dado um triângulo, é necessário conhecer a medida da sua base e de sua altura para calcular a área:

b→ base

h → altura

Exemplo:

Um triângulo tem base igual a 12 cm e a sua altura é de 8 cm. Qual é o valor de sua área?

Resolução:

Substituindo o valor da base b e da altura h, temos que:

Área do quadrado

Em um quadrado qualquer, para calcular a sua área, é necessário conhecer a medida de um dos seus lados:

A = l²

l → lado do quadrado

Exemplo:

Qual é a área de um quadrado que possui lados com 3 cm de comprimento?

Resolução:

A = l²

A = 3²

A = 9 cm²

• Área do retângulo

Em um retângulo, é necessário conhecer o comprimento da sua base e sua altura para calcular sua área:

A = b · h

b → base

h → altura

Exemplo:

Um retângulo possui lados medindo 18 cm e 9 cm, então a área desse retângulo é igual a?

Resolução:

Sabemos que b = 18 e c = 9. Substituindo na fórmula, temos que:

A = b · h

A = 18 · 9

A = 162 cm²

• Área do losango

Diferentemente dos anteriores, para calcular a área do losango, é necessário conhecer a medida das suas duas diagonais:

D → diagonal maior

d → diagonal menor

Exemplo:

Encontre a área do losango que possui diagonal maior medindo 15 cm e diagonal menor medindo 5 cm.

Resolução:

Substituindo os valores conhecidos na fórmula da área do losango, temos que:

• Área do trapézio

Como o trapézio possui duas bases, uma maior e uma menor, para calcular a sua área, necessitamos do comprimento das suas bases e da sua altura:

B → Base maior

b → base menor

h → altura

Exemplo:

Encontre a área do trapézio sabendo que suas bases medem 16 cm e 10 cm e sua altura mede 4 cm.

Resolução:

Substituindo os valores conhecidos na fórmula, temos que:

• Área do círculo

Em um círculo, para calcular a sua área, precisamos somente do comprimento do raio. Em alguns casos, utilizamos uma aproximação para o valor de π de acordo com a quantidade de casas decimais que queremos considerar.

A = πr²

r → raio

Exemplo:

Calcule a área de um círculo de raio r = 4 cm (use π = 3,1).

Resolução:

Substituindo na fórmula, temos que:

A = πr²

A = 3,1 · 4²

A = 3,1 · 16

A = 49,6 cm²

Diferença entre a geometria plana e geometria espacial

O estudo da geometria pode ser separado em dois casos, a geometria plana e a geometria espacial. Na geometria plana, estudam-se os objetos planos, como ponto, reta, polígonos, círculo, o conceito de área, de comprimento, entre outros conceitos que são desenvolvidos pelo estudo da geometria em duas dimensões.

Já a geometria espacial estende os conhecimentos adquiridos na geometria plana para o espaço que possui três dimensões, logo desenvolve outros conceitos importantes, como o de poliedros e de volume. Entendemos, então, que a geometria plana estuda os elementos no plano, ou seja, bidimensionais, e a geometria espacial estuda os elementos no espaço, ou seja, tridimensionais.

Leia também: Como estudar geometria para o Enem?

Exercícios resolvidos sobre áreas de figuras planas

Questão 1

(Enem 2017) Um fabricante recomenda que, para cada m² do ambiente a ser climatizado, são necessários 800 BTUh, desde que haja até duas pessoas no ambiente. A esse número devem ser acrescentados 600 BTUh para cada pessoa a mais, e também para cada aparelho eletrônico emissor de calor no ambiente. A seguir encontram-se as cinco opções de aparelhos desse fabricante e suas respectivas capacidades térmicas:

Tipo I: 10 500 BTUh

Tipo II: 11 000 BTUh

Tipo III: 11 500 BTUh

Tipo IV: 12 000 BTUh

O supervisor de um laboratório precisa comprar um aparelho para climatizar o ambiente. Nele ficarão duas pessoas mais uma centrífuga que emite calor correspondente ao de 1 pessoa. O laboratório tem forma de trapézio retângulo, com as medidas apresentadas na figura.

Para economizar energia, o supervisor deverá escolher o aparelho de menor capacidade térmica que atenda às necessidades do laboratório e às recomendações do fabricante.

A escolha do supervisor recairá sobre o aparelho do tipo:

A) I.

B) II.

C) III.

D) IV.

E) V.

Resolução:

Alternativa C.

Primeiro calcularemos a área do ambiente, que é um trapézio de base maior medindo 3,8 metros, base menor medindo 3 metros e altura de 4 metros.

Para cada m², são recomendados 800 BTUh, logo serão 13,6 · 800 = 10 880 BTUh para climatizar o ambiente. Além disso, é especificado que, no caso de objetos que transmitem calor, é necessário acrescentar 600 BTUh. Como há uma centrífuga nesse ambiente, então somaremos:

10 880 + 600 = 11 480 BTUh

Nesse caso, o supervisor vai escolher o aparelho III.

Questão 2

(OMNI) Wilson tem um terreno retangular e desejando plantar uma horta, colocou dois irrigadores neste terreno, ambos com alcance circular de raio igual a 4metros, como na figura abaixo. Qual a área que os irrigadores não alcançam, que será uma parte do terreno que Wilson não irá fazer a horta? Utilize π = 3,14.

A) 100,48 m².

B) 36,48 m².

C) 102,88 m².

D) 27,52 m².

Resolução:

Alternativa C.

Para encontrar a região não alcançada, vamos subtrair a área do retângulo pela área dos círculos.

Sabemos que o raio é 4 m e que o retângulo possui 2 raios de altura e 4 raios de comprimento, ou seja, 8 metros de altura e 16 metros de comprimento.

A_retângulo = b · h

A_retângulo = 16 · 8 = 128 m³

Agora calcularemos a área de um dos círculos:

A_círculo = πr²

A_círculo= 3,14 · 4

A_círculo = 12,56

Então, como há dois círculos, a área da região não irrigada é dada por:

A = A_retângulo – 2A_círculo

A = 128 – 2 ·12,56

A = 128 – 25,12

A = 102,88 m²