Combinação com repetição

A combinação com repetição é um entre os agrupamentos estudados na análise combinatória. Conhecemos como combinação com repetição de n elementos tomados de k em k todos os agrupamentos que podemos formar escolhendo k entre n, sendo que um mesmo elemento pode se repetir.

Calcular a combinação com repetição é encontrar a quantidade de agrupamentos possíveis nessas condições, e, para isso, utilizamos uma fórmula específica da combinação com repetição. É possível também relacionar a combinação com repetição com uma combinação simples. A combinação com repetição está presente em várias situações do dia a dia, como em jogos de carta, e situações envolvendo escolhas simples com agrupamentos.

Veja também: Como calcular um arranjo simples?

Resumo sobre combinação com repetição

• Combinação com repetição é um tipo de agrupamento da análise combinatória.
• Combinação com repetição são todos os agrupamentos não ordenados, escolhendo k elementos de um conjunto com n elementos, podendo ter repetição.
• Para calcular todas as combinações com repetição, utilizamos a fórmula:

• Podemos relacionar a combinação com repetição com uma combinação simples pela fórmula:

CR_n,k = C_n+k-1,k

O que é combinação com repetição?

Na análise combinatória, estuda-se vários tipos de agrupamentos, entre eles conhecemos a combinação com repetição. Dado um conjunto com n elementos, definimos como Cr_n,k — combinação com repetição de n elementos tomados de k a k — todos os agrupamentos não ordenados que podemos formar contendo k elementos, com repetições, escolhidos entre os n elementos do conjunto.

Vejamos um exemplo simples de combinação com repetição.

Exemplo:

Em um restaurante existem 4 opções de sucos feitos da fruta, são eles: abacaxi, laranja, manga e tamarindo. De quantas maneiras distintas um cliente pode pedir dois sucos?

Essa situação é uma combinação com repetição, pois a ordem dos sabores não é importante, ou seja, se o cliente pedir abacaxi e laranja ou laranja e abacaxi, será o mesmo agrupamento. Além disso, são permitidas repetições, ou seja, ele pode pedir dois sucos do mesmo sabor.

Vamos listar todas as combinações com repetição possíveis, são elas:

{abacaxi, abacaxi}, {abacaxi, laranja}, {abacaxi, manga}, {abacaxi, tamarindo}, {laranja, laranja}, {laranja, manga}, {laranja, tamarindo}, {manga, manga}, {manga, tamarindo}, {tamarindo, tamarindo}

Essa é uma combinação com repetição de 4 elementos tomados de 2 em 2, CR_4,2.

Note que existem 10 combinações possíveis.

A combinação com repetição está presente em várias situações do dia a dia, por exemplo, nos jogos de cartas, no lançamento de dados, e em várias situações que envolvem a escolha de determinada parte do conjunto em que possa existir repetição e cuja ordem não é importante.

Leia também: Permutação simples – todos os agrupamentos ordenados formados com todos os elementos de um conjunto

Qual é a fórmula da combinação com repetição?

Diante de diversas situações envolvendo combinações com repetição, muitas vezes, o interesse não é em listar cada uma das combinações, mas saber qual é a quantidade total de combinações com repetição possíveis. Anteriormente, fizemos um exemplo simples, mas, quanto maior a quantidade de elementos tanto no conjunto quanto para serem escolhidos, maior será a quantidade de combinações com repetição possíveis, tornando a fórmula um caminho muito mais rápido para encontrar todas as possibilidades.

Dado um conjunto com n elementos tomados de k a k, a combinação completa ou combinação com repetição é calculada por:

CR →  combinação com repetição

n →  quantidade de elementos no conjunto
k →  quantidade de elementos em cada reagrupamento

Existe a possibilidade de calcular uma combinação com repetição por meio de uma combinação simples utilizando a relação:

CR_n,k  = C_n+k-1,k

Cálculo da quantidade de combinações com repetição possíveis

Para realizar o cálculo da combinação com repetição, basta substituir os valores de n e k na fórmula.

Exemplo:

Calcularemos o total de combinações com repetição da situação citada anteriormente, em que o cliente escolherá 2 sabores entre {abacaxi, laranja, manga, tamarindo}.

Temos 4 opções tomadas de 2 em 2, então, substituindo na fórmula, temos que:

Exercícios resolvidos sobre combinação com repetição

Questão 1 - (Enem 2017) Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por 1 carreta e 10 carrinhos nela transportados, conforme a figura.

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.

Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?

A) C_6,4

B) C_9,3

C) C_10,4

D) 6⁴

E) 4⁶

Resolução

Alternativa B

Note que temos uma combinação com repetição, com 4 opções de cores para 6 carrinhos, ou seja, n = 4 e k = 6. Analisando as alternativas, transformaremos a combinação com repetição em uma combinação simples:

CR_n,k = C_{n+k – 1, k}

CR_4,6 = C_{4+6 – 1, 6}

CR_4,6 = C_9,6

Note que não há uma alternativa com a combinação simples, mas sabemos que C_9,6 = C_9,3.

Questão 2 - Buscando inovação, a pamonharia da Tia Joana lançou novos sabores de pamonha. São eles: pamonha à moda com pequi, pamonha de doce com chocolate, pamonha de carne moída com bacon, pamonha de calabresa e pamonha de carne seca. Se 3 clientes decidem escolher 1 pamonha cada entre os 5 sabores novos, o número de combinações distintas para o pedido deles é igual a:

A) 18

B) 25

C) 28

D) 35

E) 40

Resolução

Alternativa D

Há 5 sabores disponíveis, e os clientes escolherão 3 pamonhas, distintas ou não, então, temos que:

n = 5

k = 3

Substituindo na fórmula da combinação com repetição, temos que: