Arranjo simples

O arranjo simples é um tipo importante de agrupamento estudado na análise combinatória. Conhecendo um conjunto com n elementos, chamamos de arranjo simples todos os agrupamentos formados sem repetições de elementos e ordenados, o qual podemos formar com k elementos do conjunto.

Podemos aplicar o arranjo simples em várias situações cotidianas, por exemplo, na criação de senhas ou em problemas envolvendo filas. Além do arranjo, existe um outro tipo de agrupamento estudado na análise combinatória, que é a combinação. A diferença entre eles é que, no arranjo, a ordem e o reordenamento dos elementos criam novos agrupamentos, já na combinação, a ordem dos elementos não é importante. Para calcular todos os arranjos possíveis de n elementos tomados de k em k, utilizamos uma fórmula específica.

Leia também: Quais são os critérios para identificação de arranjo ou combinação?

Resumo sobre arranjo simples

• O arranjo simples é um tipo de agrupamento estudado na análise combinatória.

• Um arranjo simples é todo agrupamento ordenado e sem repetição que podemos formar com parte dos elementos de um conjunto.

• Para calcular todos os arranjos possíveis de n elementos tomados de k em k, utilizamos a fórmula:

• A diferença entre o arranjo e a combinação é que, no arranjo, a ordem dos elementos é relevante, e na combinação, não.

O que é o arranjo simples?

Conhecemos como arranjo simples todos os agrupamentos ordenados e sem repetição que podemos formar com parte dos elementos de um conjunto.

Exemplo:

Dado o conjunto de números {1, 2, 3, 4}, podemos listar todos os arranjos simples possíveis que podemos formar com 2 elementos desse conjunto.

(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4, 1); (4, 2); (4, 3).

Então, podemos afirmar que existem 12 arranjos possíveis de 4 elementos tomados de 2 em 2. Muitas vezes, o interesse não está em listar todos os agrupamentos possíveis, como foi feito, mas sim em calcular a quantidade de arranjos possíveis, e, para isso, existe uma fórmula.

Qual é a fórmula do arranjo?

Para calcular a quantidade de arranjos que podemos formar de n elementos tomados de k em k, utilizamos a fórmula:

A_n,k → Arranjo de n elementos tomados de k em k

n → quantidade de elementos que podem ser escolhidos

k → quantidade de elementos por agrupamento

Exemplo 1:

Qual é a quantidade de arranjos que podemos formar com 8 elementos tomados de 3 em 3?

Para calcular a quantidade de arranjos, temos que n = 8 e k = 3, então, basta substituir na fórmula.

Exemplo 2:

Para acessar um site, cada usuário cria uma senha com 4 algarismos, todos distintos entre si. Então, o número de senhas possíveis que esse site admite é igual a:

Sabemos que existem 10 algarismos possíveis, então, calcularemos o arranjo simples de 10 algarismos tomados de 4 em 4.

Desse modo, existem 5040 senhas distintas possíveis.

Veja também: Equações envolvendo o fatorial: como resolver?

Diferença entre arranjo simples e combinação simples

Para saber se os agrupamentos são combinações ou arranjos, basta diferenciar se a ordem é importante ou não. Quando estamos trabalhando com arranjo, os agrupamentos (1, 2) e (2, 1) são diferentes, pois, no arranjo, a ordem dos elementos gera agrupamentos distintos.

Na combinação simples, os agrupamentos {1, 2} e {2, 1} são, na verdade, o mesmo agrupamento, porque, na combinação, alterar a ordem dos elementos não gera um novo agrupamento.

• Videoaula sobre arranjo e combinação

Exercícios resolvidos sobre arranjo simples

Questão 1 - Para a disputa de campeonato de xadrez, existem 16 candidatos. O campeonato é de pontos corridos na primeira etapa, de modo que todos os enxadristas se enfrentariam nela. Ao final da etapa de pontos corridos, os dois melhores colocados se enfrentariam em uma partida final, sendo que o primeiro colocado na fase anterior jogaria com as peças brancas na final. Sabendo que todos são igualmente capazes, de quantas maneiras distintas essa final poderia acontecer?

A) 120

B) 240

C) 360

D) 480

E) 600

Resolução

Alternativa B

Essa situação é um problema de arranjo simples, pois note que a ordem é importante, já que ela define quem jogará com as peças brancas e quem jogará com as peças pretas. No xadrez, o jogador que está com as peças brancas sempre inicia o jogo. Então, estamos calculando um arranjo de 16 elementos tomados de 2 em 2. Substituindo na fórmula, temos que:

Questão 2 - (Enem) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.

A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de

A) uma combinação e um arranjo, respectivamente.

B) um arranjo e uma combinação, respectivamente.

C) um arranjo e uma permutação, respectivamente.

D) duas combinações.

E) dois arranjos.

Resolução

Alternativa A

Note que, no primeiro agrupamento, a ordem não é importante, logo, a quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A pode ser calculada por uma combinação. Já o cálculo da quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura pode ser feito por um arranjo, pois a ordem é relevante. Então, temos uma combinação e um arranjo, respectivamente.