Whatsapp icon Whatsapp

Função exponencial

A função exponencial é utilizada para descrever e modelar o comportamento de várias situações no nosso dia a dia. Podemos observá-la, por exemplo, na matemática financeira, em situações que envolvem juros compostos, em reprodução de cultura de bactérias, e até mesmo o comportamento de novos casos da covid-19, durante a pandemia em 2020, aproxima-se muito de um comportamento exponencial.

A lei de formação da função exponencial é f(x) = ax, podendo gerar um gráfico crescente ou decrescente, dependo do valor da base “a”. A função inversa da função exponencial é a função logarítmica.

Leia também: Quais são as diferenças entre função e equação?

Gráfico de uma função exponencial decrescente.
Gráfico de uma função exponencial decrescente.

Definição da função exponencial

Definimos como função exponencial uma função f: ℝ → ℝ*+, ou seja, seu domínio é o conjunto dos números reais, e seu contradomínio é o conjunto dos números reais positivos diferentes de 0. Além disso, a sua lei de formação pode ser descrita por f (x) = ax, em que ‘a’ é a base, cujo valor sempre será um número real positivo.

Exemplos:

f(x) = 2x

f(x) = 0,3x

Podemos observar que f(x) é a variável dependente, podendo ser representada por y também, e x é a variável independente.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Tipos de função exponencial

Podemos dividir a função exponencial em dois casos: crescente ou decrescente.

O gráfico da função f(x) = ax é crescente quando a base é um número maior do que 1, ou seja, quando a > 1. Nesse caso, quanto maior o valor de x maior será o valor de y.

A função exponencial é decrescente quando a base é um número maior que 0 e menor que 1, ou seja, quando 0<a<1. Caso ela seja decrescente, quanto maior o valor de x menor será o valor de y.

Veja também: Tipos de gráficos – quando usar cada um?

Gráfico da função exponencial

Para traçar o gráfico de uma função exponencial, é necessário encontrar o valor numérico para alguns valores de x. Existem duas possibilidades para o comportamento do gráfico, ele pode ser crescente ou decrescente, como vimos anteriormente. Quando o gráfico é crescente, a função exponencial é caracterizada por possuir um crescimento muito rápido em comparação, por exemplo, com a função afim.

Podemos observar que o gráfico não passa pelo 3º e 4º quadrante do plano cartesiano, pois o contradomínio será, como vimos na definição, os reais positivos e maiores que 0. Por mais próximo que o gráfico chegue do eixo x, ele não o tocará, não há valor algum no domínio que faça com que ax seja igual a 0, lembrando que, por definição, a base é sempre maior do que 0.

Exemplos:

Construa os gráficos das funções:

a) f(x) = 3x

Como a >1, então essa função é crescente. Para construir o gráfico, vamos construir a tabela com alguns valores numéricos da função.

Após encontrar alguns valores numéricos, é possível representar no plano cartesiano gráfico da função:

Nesse caso, a base é menor que 1, ou seja, 0<a<1, logo o gráfico será decrescente. O fato de ele ser decrescente não altera o método que utilizaremos para construí-lo, assim como foi feito no outro, encontraremos alguns valores numéricos.

Após encontrar alguns valores numéricos, é possível representar no plano cartesiano o gráfico da função:

Para saber mais informações sobre a construção dos gráficos desse tipo de função, acesse: gráfico da função exponencial.

Propriedades da função exponencial

  • 1ª propriedade

Em uma função exponencial, f(0) = 1. Essa propriedade não passa de uma consequência das propriedades de potência, já que a base de todo número diferente de 0 elevado a 0 é igual a 1.

f(0) = a0=1

  • 2ª propriedade

A função exponencial é injetiva. Isso significa que, para valores diferentes de x, a imagem também será diferente, ou seja, f(x1) ≠ f(x2) com x1 ≠ x2. Ser injetiva significa que, para valores diferentes de y, existirá um único valor de x que faz com que f(x) seja igual a y.

  • 3ª propriedade

Como vimos em um tópico anterior, o gráfico da função exponencial pode ser crescente, se a base for maior que 1 (a >1), e decrescente, caso a base seja um número menor que 1 e maior que 0 (0<a<1).

  • 4ª propriedade

O gráfico da função exponencial nunca corta o eixo x. Por menor que seja o valor da imagem, ele nunca chegará a ser 0. Dizemos que ele tende a 0, mas não existe valor de x que faça com que f(x) = 0.

Conheça mais detalhes sobre essas propriedades, acessando o texto: propriedades da função exponencial.

Função exponencial e função logarítmica

A comparação entre essas duas funções é bastante comum, já que a função logarítmica possui como função inversa a função exponencial. Isso significa que os gráficos das duas são simétricos em relação à bissetriz do eixo x.

A função exponencial e a função logarítmica são funções inversas.
A função exponencial e a função logarítmica são funções inversas.

Exemplo:

Encontre a função inversa f (x)-1 da função exponencial de lei de formação f(x) = 5x.

Para encontrar a função inversa, trocamos x e y de lugar.

x = 5y

Agora vamos isolar o y novamente, mas para isso aplicaremos log na base 5 dos dois lados.

log5x = log55y
log5x = ylog55
log5x= y

Então, a função inversa será:

f(x)-1 = log5x

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Um biólogo está estudando uma cultura de bactérias que se reproduzem de formal exponencial. A lei de formação que descreve a reprodução dessas bactérias é f(t) = Qi · 3t , em que Qi é a quantidade inicial de bactérias e t é o tempo dado horas. Sabendo que havia 200 bactérias em uma amostra, qual será a quantidade de tempo necessária para que essa cultura tenha o total de 16.200 bactérias?

a) 2 horas

b) 3 horas

c) 4 horas

d) 5 horas

e) 6 horas

Resolução

Alternativa C

Sabemos que f(t) = 16 200 e que Qi=200, realizando a substituição desses termos, vamos encontrar o valor de t.

Questão 2 - (ENEM – 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t) = 1800·(1,03)t. De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais:

a) 7416,00

b) 3819,24

c) 3709,62

d) 3708,00

e) 1909,62

Resolução

Alternativa E

Sabemos que t = 2, realizando a substituição.

s(t) = 1800·(1,03)t

s(2) = 1800·(1,03)²

s(2) = 1800· 1,0609

s(2) = 1909,62

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira
Assista às nossas videoaulas

Artigos Relacionados

Função Exponencial e Matemática Financeira
Aplicações da função exponencial.
Função sobrejetora
Você sabe o que é uma função sobrejetora? Clique aqui, conheça suas principais características e aprenda a classificar uma função como sobrejetora ou não sobrejetora.
Funções: Custo, Receita e Lucro
Confira aqui a aplicabilidade das funções: custo, receita e lucro.
Gráfico da função exponencial
Clique e aprenda a construir o gráfico de uma função exponencial e conheça também as propriedades dessa representação matemática.
Plano cartesiano
Conheça o que é o plano cartesiano e qual a sua função. Saiba também como montar e marcar pontos nele.
Ponto de Equilíbrio
Como determinar o ponto de equilíbrio de uma empresa? Clique aqui e descubra!
Propriedades da função exponencial
Clique e aprenda as propriedades da função exponencial que podem facilitar os cálculos envolvendo essas funções com expoente variável.
Relação
Relação, Conjunto, Relação entre conjuntos, Representação de conjunto, Representação de relação, Regra, Diagrama, Par ordenado, Domínio, Imagem, Gráfico de uma relação.
Relação entre os coeficientes e o gráfico de uma função do segundo grau
Clique e aprenda a utilizar a relação entre os coeficientes e o gráfico de uma função do segundo grau para resolver alguns cálculos.
video icon
Escrito"CEI - Comunidade dos Estados Independentes" proxímo ao símbolo do CEI - Comunidade dos Estados Independentes em fundo azul.
Geografia
CEI - Comunidade dos Estados Independentes
Assista à videoaula e conheça a CEI — Comunidade dos Estados Independentes. Saiba como essa organização surgiu e seus objetivos. Entenda o contexto geopolítico de formação da CEI.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.