Matriz Triangular

Uma matriz quadrada é aquela que apresenta quantidades iguais de linhas e colunas. Representamos uma matriz quadrada que possui n lados e n colunas como A_nxn. Cada elemento de uma matriz é identificado de acordo com a linha e a coluna em que se encontra. Por exemplo, o elemento A₁₂ está localizado na 1ª linha e na 2ª coluna da matriz. Podemos representar um elemento genérico da matriz como A_ij, em que i representa a linha e j identifica a coluna em que o elemento se encontra. Vejamos a representação de uma matriz quadrada A_4x4:

Matriz quadrada de ordem 4 ou matriz quadrada 4 x 4

Nessa matriz quadrada, os elementos destacados na cor azul compõem a diagonal principal e são todos da forma A_ij, em que i = j. Vale lembrar que a existência da diagonal principal é exclusiva às matrizes quadradas.

Se os elementos que se encontram acima da diagonal principal forem iguais a zero, isto é, se for nulo todo elemento do tipo A_ij, em que i < j, haverá uma matriz triangular inferior. A seguir temos um exemplo de matriz triangular inferior de ordem 4:

Na matriz triangular inferior, todos os elementos acima da diagonal principal são iguais a zero

Mas se os elementos situados abaixo da diagonal principal forem nulos, ou seja, se for zero todo elemento A_ij, em que i > j, teremos uma matriz triangular superior. Veja a seguir o exemplo de uma matriz triangular superior do tipo 4 x 4:

Na matriz triangular superior, todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero

Se a matriz for simultaneamente triangular superior e triangular inferior, teremos descrita uma matriz diagonal. Portanto, uma matriz diagonal é aquela em que todo elemento A_ij, em que i ≠ j, é igual a zero. Essa matriz é dita triangular superior e inferior, assim como temos no exemplo a seguir:

Na matriz diagonal, todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero

O determinante de uma matriz triangular, seja ela superior ou inferior, será sempre o produto dos elementos da diagonal principal. Vejamos dois exemplos em que utilizaremos a Regra de Sarrus para calcular o determinante. Na Regra de Sarrus, repetimos, no fim da matriz, as duas primeiras colunas. Nas imagens a seguir, as linhas rosa representam os elementos que serão multiplicados, e o resultado manterá o sinal, já as linhas violeta indicam os números que serão multiplicados, mas o resultado receberá o sinal oposto.

1) 

Cálculo do determinante de uma matriz triangular inferior

D = 1.5.4 + 0.0.9 + 0.2.7 – 9.5.0 – 7.0.1 – 4.2.0 = 1.5.4 = 20

Portanto, o determinante dessa matriz é dado apenas pela multiplicação de 1.5.4. Poderíamos encontrar esse determinante sem aplicar a Regra de Sarrus, apenas multiplicando os elementos da diagonal principal.

2) 

Cálculo do determinante de uma matriz triangular superior

D = 2.3.1 + 8.7.0 + 1.0.0 – 0.3.1 – 0.7.2 – 1.0.8 = 2.3.1 = 6

Como no exemplo anterior, o determinante de uma matriz triangular é dado apenas pelo produto dos elementos da diagonal principal, nesse caso, pela multiplicação de 2.3.1.