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Regra de Sarrus

Regra de Sarrus é um método desenvolvido para realizarmos o cálculo de determinantes de matrizes de ordem 2 e ordem 3. Ele é fundamental para resolução de problemas com matrizes.
A regra de Sarrus é um método para calcular determinantes.
A regra de Sarrus é um método para calcular determinantes.

A regra de Sarrus é um método utilizado para calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e ordem 3. Quando estamos trabalhando com uma matriz quadrada, é possível encontrar um número associado a ela conhecido como determinante da matriz.

Quando a matriz é de ordem 2, ou seja, 2 linhas e 2 colunas, para calcular o determinante pela regra de Sarrus, basta calcular a diferença entre o produto da diagonal principal e o produto da diagonal secundária. Quando a matriz é de ordem 3, ou seja, 3 linhas e 3 colunas, o método é um pouco mais complexo, mas ainda sim é possível encontrar o determinante utilizando a regra de Sarrus.

Leia também: Como resolver matrizes e determinantes?

Resumo sobre regra de Sarrus

  • É um método para calcular determinantes de matrizes de ordem 2 e 3.

  • Em uma matriz 2x2, aplicando a regra de Sarrus, temos que:

Exemplo de aplicação de regra de Sarrus em matriz 2x2

  • Em uma matriz 3x3, aplicando a regra de Sarrus, temos que:

Exemplo de aplicação de regra de Sarrus em matriz 3x3

Como fazer a regra de Sarrus?

A regra de Sarrus é um método para calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e ordem 3. É um dos métodos mais utilizados nesse caso. Vejamos, a seguir, como fazer a regra de Sarrus para as matrizes de ordem 2 e 3.

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  • Regra de Sarrus em matrizes de 2x2

Começando pelo caso mais simples, em uma matriz de ordem 2, ou seja, que possui duas linhas e duas colunas, para aplicar a regra de Sarrus, basta calcular a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária.

Matriz 2x2 com diagonal principal destacada em vermelho e diagonal secundária em azul

Em vermelho, temos a diagonal principal, e, em azul, a diagonal secundária, então, temos que:

det(A) = a11 ⸳ a22 a12 · a21

Exemplo:

Dada a matriz A a seguir, calcule o seu determinante utilizando a regra de Sarrus:

Exemplo de matriz 2x2

Resolução:

Calculando o determinante da matriz, temos que:

det(A) = 4 · 3 – 5 · 2

det(A) = 12 – 10

det(A) = 2

Leia também: Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3

  • Regra de Sarrus em matrizes de 3x3

Quando a matriz é de ordem 3, é necessário seguir os passos a seguir.

Exemplo de matriz 3x3

  • 1º passo: copiar as duas primeiras colunas novamente, no final da matriz.

Matriz 3x3 com as duas primeiras colunas repetidas ao final da matriz

  • 2º passo: identificar os termos da diagonal principal e das outras duas diagonais paralelas a ela.

Matriz 3x3 com diagonal principal e diagonais paralelas à principal destacadas com setas em vermelho

  • 3º passo: calcular a soma do produto entre os termos de cada uma das diagonais.

Dp = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32

  • 4º passo: identificar os termos da diagonal secundária e das outras duas diagonais paralelas a ela.

 Matriz 3x3 com a diagonal secundária e diagonais paralelas à secundária destacadas com setas em azul

  • 5º passo: calcular a soma do produto de cada uma das diagonais.

Ds = a13 · a22 · a31 + a11 · a21 · a32 + a12 · a21 · a33

  • 6º passo: calcular a diferença entre Dp e Ds.

Matriz 3x3 com diagonais delimitadas para cálculo de determinante pela regra de Sarrus

det(A) = Dp – Ds

det(A) = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32(a13 · a22 · a31 + a11 · a21 · a32 + a12 · a21 · a33)

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz.

Exemplo de matriz 3x3 para cálculo de determinante pela regra de Sarrus

Resolução:

Para calcular o determinante da matriz, copiaremos as duas colunas ao final da matriz.

Exemplo de matriz 3x3 com as duas primeiras colunas repetidas ao final da matriz para cálculo de determinante

Identificando as diagonais, temos que:

Exemplo de matriz 3x3 com diagonais destacadas para cálculo de determinante pela regra de Sarrus

det(A) = 2 · 1 · 0 + 1 · 2 · 1 + 1 · 3 · (-1) – (1 · 1 · 1 + 2 · 2 · (-1) + 1 · 3 · 0)

det(A) = 0 + 2 – 3 – (1 – 4 + 0)

det(A) = -1 – (-3)

det(A) = -1 + 3

det(A) = 2

Leia também: Adição e subtração de matrizes

Exercícios resolvidos sobre regra de Sarrus

Questão 1

(Fundatec - adaptada) O valor de x na matriz A de ordem 2x2 para que det(A) = 45 é:

Matriz A de ordem 2x2

A) -3 e 3

B) 9 e -9

C) 4 e 5

D) 6 e -6

E) 2 e 0

Resolução:

Alternativa A

Aplicando a regra de Sarrus, temos que:

det(A) = x · x – (-3) · 12

det(A) = x² – (-36)

det(A) = x² + 36

Sabemos que det(A) = 45, então, temos que:

x² + 36 = 45

x² = 45 – 36

x² = 9

x = ± √9

x = ± 3

Questão 2

(IBFC) Considerando as matrizes A e B a seguir, então a razão entre det(A) e det(B) é igual a:

Matrizes A e B de ordem 2x2

A) 4/3

B) -2

C) 3/4

D) 2

E) 1/2

Resolução:

Alternativa A

Calcularemos cada um dos determinantes utilizando a regra de Sarrus:

det(A) = 3 · 2 – 1 · (-2) = 6 + 2 = 8

det(B) = 1 · 2 – 4 · (-1) = 2 + 4 = 6

Então, a razão entre det(A) e det(B) é igual a:

Cálculo da razão entre o valor de det(A) e det(B)

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira
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