Regra de Sarrus
A regra de Sarrus é um método utilizado para calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e ordem 3. Quando estamos trabalhando com uma matriz quadrada, é possível encontrar um número associado a ela conhecido como determinante da matriz.
Quando a matriz é de ordem 2, ou seja, 2 linhas e 2 colunas, para calcular o determinante pela regra de Sarrus, basta calcular a diferença entre o produto da diagonal principal e o produto da diagonal secundária. Quando a matriz é de ordem 3, ou seja, 3 linhas e 3 colunas, o método é um pouco mais complexo, mas ainda sim é possível encontrar o determinante utilizando a regra de Sarrus.
Leia também: Como resolver matrizes e determinantes?
Resumo sobre regra de Sarrus
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É um método para calcular determinantes de matrizes de ordem 2 e 3.
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Em uma matriz 2x2, aplicando a regra de Sarrus, temos que:
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Em uma matriz 3x3, aplicando a regra de Sarrus, temos que:
Como fazer a regra de Sarrus?
A regra de Sarrus é um método para calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e ordem 3. É um dos métodos mais utilizados nesse caso. Vejamos, a seguir, como fazer a regra de Sarrus para as matrizes de ordem 2 e 3.
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Regra de Sarrus em matrizes de 2x2
Começando pelo caso mais simples, em uma matriz de ordem 2, ou seja, que possui duas linhas e duas colunas, para aplicar a regra de Sarrus, basta calcular a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária.
Em vermelho, temos a diagonal principal, e, em azul, a diagonal secundária, então, temos que:
det(A) = a11 ⸳ a22 – a12 · a21
Exemplo:
Dada a matriz A a seguir, calcule o seu determinante utilizando a regra de Sarrus:
Resolução:
Calculando o determinante da matriz, temos que:
det(A) = 4 · 3 – 5 · 2
det(A) = 12 – 10
det(A) = 2
Leia também: Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3
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Regra de Sarrus em matrizes de 3x3
Quando a matriz é de ordem 3, é necessário seguir os passos a seguir.
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1º passo: copiar as duas primeiras colunas novamente, no final da matriz.
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2º passo: identificar os termos da diagonal principal e das outras duas diagonais paralelas a ela.
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3º passo: calcular a soma do produto entre os termos de cada uma das diagonais.
Dp = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32
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4º passo: identificar os termos da diagonal secundária e das outras duas diagonais paralelas a ela.
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5º passo: calcular a soma do produto de cada uma das diagonais.
Ds = a13 · a22 · a31 + a11 · a21 · a32 + a12 · a21 · a33
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6º passo: calcular a diferença entre Dp e Ds.
det(A) = Dp – Ds
det(A) = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 – (a13 · a22 · a31 + a11 · a21 · a32 + a12 · a21 · a33)
Exemplo:
Calcule o determinante da matriz.
Resolução:
Para calcular o determinante da matriz, copiaremos as duas colunas ao final da matriz.
Identificando as diagonais, temos que:
det(A) = 2 · 1 · 0 + 1 · 2 · 1 + 1 · 3 · (-1) – (1 · 1 · 1 + 2 · 2 · (-1) + 1 · 3 · 0)
det(A) = 0 + 2 – 3 – (1 – 4 + 0)
det(A) = -1 – (-3)
det(A) = -1 + 3
det(A) = 2
Leia também: Adição e subtração de matrizes
Exercícios resolvidos sobre regra de Sarrus
Questão 1
(Fundatec - adaptada) O valor de x na matriz A de ordem 2x2 para que det(A) = 45 é:
A) -3 e 3
B) 9 e -9
C) 4 e 5
D) 6 e -6
E) 2 e 0
Resolução:
Alternativa A
Aplicando a regra de Sarrus, temos que:
det(A) = x · x – (-3) · 12
det(A) = x² – (-36)
det(A) = x² + 36
Sabemos que det(A) = 45, então, temos que:
x² + 36 = 45
x² = 45 – 36
x² = 9
x = ± √9
x = ± 3
Questão 2
(IBFC) Considerando as matrizes A e B a seguir, então a razão entre det(A) e det(B) é igual a:
A) 4/3
B) -2
C) 3/4
D) 2
E) 1/2
Resolução:
Alternativa A
Calcularemos cada um dos determinantes utilizando a regra de Sarrus:
det(A) = 3 · 2 – 1 · (-2) = 6 + 2 = 8
det(B) = 1 · 2 – 4 · (-1) = 2 + 4 = 6
Então, a razão entre det(A) e det(B) é igual a: