Proporção áurea

A proporção áurea é um conceito matemático que representa uma relação estética e harmônica que é considerada visualmente agradável. Essa proporção é obtida pela divisão de uma linha em dois segmentos de tal forma que a razão entre o comprimento total da linha e o comprimento do maior segmento seja igual à razão entre o comprimento do maior segmento e o comprimento do menor segmento.

É um conceito muito interessante de ser estudado, e pode ser aplicado na vida cotidiana em diversos aspectos, como na decoração da casa, na escolha de roupas, na composição de fotografias e na criação de trabalhos artísticos em geral.

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Resumo sobre proporção áurea

• A proporção áurea é um conceito matemático que surge quando uma linha é dividida em duas partes de forma a obter-se uma razão especial entre os dois comprimentos.

• Essa proporção representa uma relação estética e harmônica que é considerada visualmente agradável.

• Em relação à proporção áurea, temos a seguinte relação:

\(\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\ =\varphi=1,618\)

• Devido às suas propriedades estéticas únicas, a proporção áurea tem sido utilizada em diversas formas de arte, incluindo pintura, arquitetura e design gráfico.

• Quando aplicada em trabalhos de design, a proporção áurea é utilizada para criar layouts harmoniosos e equilibrados que agradam aos olhos do espectador.

O que é a proporção áurea?

A proporção áurea é um conceito matemático que surge quando uma linha é dividida em duas partes de forma a obter-se uma razão especial entre os dois comprimentos. Esse conceito tem intrigado artistas, arquitetos, matemáticos e filósofos ao longo dos séculos, e seu apelo reside na sua aparente capacidade de criar harmonia e equilíbrio estéticos que transcendem culturas e épocas.

A proporção áurea vale aproximadamente 1,618 e é representada pela letra grega fi (φ). Ela tem sido explorada em uma variedade de campos, desde a arte e arquitetura mais renomadas até a estrutura intrincada de fenômenos naturais. Ao traçar um elo entre a beleza subjetiva e a ordem matemática, a proporção áurea continua a desafiar nossa percepção e compreensão do mundo que nos cerca.

Outras formas de se referir à proporção áurea são: divina proporção, razão áurea, número de ouro, seção áurea, proporção divina e razão extrema e média.

Como se calcula a proporção áurea?

A proporção áurea pode ser calculada de diferentes maneiras, mas uma das formas mais comuns é pela divisão de uma linha em dois segmentos, em que a razão entre o comprimento total da linha e o comprimento do maior segmento seja igual à razão entre o comprimento do maior segmento e o comprimento do menor segmento. Para realizar esse cálculo, a figura abaixo nos auxiliará.

Chamaremos o comprimento total da linha de x; o comprimento do maior segmento de a; e o comprimento do menor segmento de b. Sendo a igualdade entre as razões \(\frac{a+b}{a} e \frac{a}{b}\), a proporção áurea é dada pela seguinte fórmula:

\(\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\)

Número de ouro

Para encontrar o comprimento da proporção áurea (ou número de ouro), vamos chamar ab de φ (esse é o nosso número de ouro). Separando a expressão \(\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\) de forma conveniente, temos \(\frac{a}{a}+\ \frac{b}{a}=\frac{a}{b}\). Dessa parte concluímos que \(1+\ \frac{1}{\varphi}=\varphi\). Isolando os termos e montando uma equação quadrática, temos: \(\varphi^2-\varphi-1=0\). Resolvendo essa equação quadrática pela fórmula de Bhaskara, temos:

\(∆ =(-1)^2-4(1)(-1)\)

\(∆ =5\)

\(\varphi=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt5}{2}=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1,618\)

Assim, temos:

\(\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\ =\varphi=1,618\)

Relação entre a proporção áurea e o retângulo de ouro

O retângulo de ouro é aquele que possui a razão entre o lado maior e o lado menor igual à proporção áurea (φ).

Importante: Sobre o retângulo de ouro é importante observar que suas interpretações estéticas podem variar culturalmente e não existe um consenso universal sobre sua aplicação. Embora tenha sido valorizado em várias épocas e contextos, diferentes culturas e períodos históricos também têm valorizado outras proporções e princípios estéticos.

Relação entre a proporção áurea e a sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci é uma série numérica em que cada número subsequente é a soma dos dois números anteriores. Começa com os números 1 e 1, e depois os números seguintes são obtidos somando-se os dois números anteriores:

a₁ = 1

a₂ = 1

a₃ = 2 (resultado foi obtido da soma de a₁+a₂)

a₄ = 3 (resultado foi obtido da soma de a₂+a₃)

a₅ = 5 (resultado foi obtido da soma de a₃+a₄)

a₆ = 8 (resultado foi obtido da soma de a₄+a₅)

a₇ = 13 (resultado foi obtido da soma de a₅+a₆)

a₈ = 21 (resultado foi obtido da soma de a₆+a₇)

Essa sequência é infinita e pode ser definida de forma recursiva da seguinte maneira:

\( \begin{cases} a^1=1 & \\ a^2=1 & \\ a_n=a_{(n-1)}+a_{(n-2)},\ para\ n\geq3 \end{cases} \)

À medida que a sequência de Fibonacci avança, a razão entre números subsequentes se aproxima da proporção áurea, também conhecida como “número de ouro”. Essa relação é mais visível quando os números da sequência de Fibonacci são divididos:

\(\frac{1}{1}=1\)

\(\frac{2}{1}=2\)

\(\frac{3}{2}=1,5\)

\(\frac{5}{3}=1,66...\)

\(\frac{8}{5}=1,6\)

\(\frac{13}{8}=1,25\)

\(\frac{21}{13}\approx1,615\)

\(\frac{34}{21}\approx1,619\)

Algumas aplicações da proporção áurea

• Proporção áurea no corpo humano
  • Proporções faciais: algumas teorias afirmam que certas proporções faciais, como a distância entre os olhos e a largura da boca em relação ao comprimento do rosto, podem estar relacionadas à proporção áurea. Essas proporções são frequentemente citadas como marcadores de beleza em algumas culturas, embora a pesquisa científica não forneça uma evidência conclusiva para essa afirmação.
  • Cabelos e unhas: algumas pessoas alegam que o crescimento do cabelo e das unhas pode seguir padrões relacionados à sequência de Fibonacci, embora a conexão seja mais uma curiosidade do que um princípio científico sólido.
  • Proporções do corpo: em algumas teorias estéticas, a proporção áurea é aplicada a diferentes partes do corpo humano, como a relação entre o comprimento do braço e o comprimento da mão, ou a relação entre diferentes segmentos das pernas.
• Proporção áurea na arte
  • Composição pictórica: a proporção áurea é frequentemente utilizada na composição de obras de arte, como pinturas e fotografias. Os artistas podem dividir o espaço da obra de acordo com a proporção áurea para criar uma distribuição equilibrada de elementos visuais.

• Proporção áurea na arquitetura
  • Arquitetura e escultura: a proporção áurea tem sido usada em arquitetura e escultura para determinar proporções e dimensões de edifícios e esculturas. Muitas estruturas históricas, como o Parthenon em Atenas, foram projetadas de acordo com princípios da proporção áurea.
• Proporção áurea no design
  • Design gráfico: a proporção áurea pode ser usada para determinar a relação entre diferentes elementos em um layout, como imagens, texto e espaços em branco. Os designers podem dividir o espaço de acordo com a proporção áurea para criar uma composição equilibrada.
• Proporção áurea na natureza
  • Espiral Fibonacci: uma das manifestações mais conhecidas da proporção áurea na natureza é a espiral Fibonacci, também conhecida como espiral áurea. Essa espiral é formada conectando arcos curvos que têm um crescimento proporcional à sequência de Fibonacci. Ela é observada em conchas, como a concha de caracol, e em outras estruturas naturais, como os galhos de algumas plantas.
  • Flores: muitas flores têm pétalas cujo número está relacionado à sequência de Fibonacci. Por exemplo, lírios muitas vezes têm três pétalas, margaridas têm 21 pétalas e muitas outras flores têm um número de pétalas que é um número de Fibonacci.

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Exercícios resolvidos sobre proporção áurea

Questão 1

Um pintor está planejando criar uma composição artística usando a proporção áurea para dividir a tela. A largura total da tela é de 100 centímetros. Determine as dimensões das duas seções, uma maior e uma menor, usando a proporção áurea.

Resolução:

A proporção áurea afirma que a razão entre a parte maior e a parte menor é φ (fi), aproximadamente 1,618.

Seja x a largura da parte menor da tela e y a largura da parte maior. Portanto, podemos escrever a proporção áurea como:

\(\frac{y}{x}=\varphi\)

Substituindo o valor de φ, temos:

\(\frac{y}{x}\approx1,618\)

Isolando o y, temos que:

\(y=1,618x\)

Sabemos que a largura total da tela é a soma das duas partes:

\(x+y=100\)

Substituindo o valor de y na equação acima:

\(x\ +\ 1,618x\ =\ 100\)

Agora podemos resolver para x:

\(2,618x\ =\ 100\)

\(x=\frac{100}{2,618}\)

\(x\approx38,19\)

Agora que conhecemos o valor de x, encontraremos o valor de y:

\(y=100-x\)

\(y=100-38,19\)

\(y\approx61,81\)

Portanto, as dimensões das duas seções da tela são aproximadamente 38,19 cm (parte menor) e 61,81 cm (parte maior).

Questão 2

Um arquiteto está projetando um prédio e deseja que a altura da entrada principal siga a proporção áurea em relação à altura total do prédio. A altura total do prédio é de 150 metros. Determine a altura da entrada principal usando a proporção áurea.

A) 29,07 m

B) 67,34 m

C) 86,20 m

D) 92,70 m 

E) 104,30 m

Resolução:

Alternativa D

A proporção áurea afirma que a razão entre a parte maior e a parte menor é φ (fi), aproximadamente 1,618.

Seja x a altura da entrada principal e y a altura da parte maior do prédio, podemos escrever a proporção áurea como:

\(\frac{y}{x}\approx1,618\)

Substituindo o valor de φ, temos:

Com base nisso, podemos isolar y em termos de \(x: y\ =\ 1,618\ x\).

Sabemos que a altura total do prédio é a soma das duas partes:

\(x\ +\ y\ =\ 150\)

Substituindo o valor de y na equação acima:

\(x\ +\ 1,618x\ =\ 150\)

Agora podemos resolver para x:

\(2,618x\ =\ 150\)

\(x\approx57,30\)

Agora que conhecemos o valor de x, podemos encontrar o valor de y usando a equação:

\(y=150-x\)

\(y=150-57,30\)

\(y\approx92,70\)

Portanto, a altura da entrada principal do prédio é aproximadamente 57,30 metros e a altura da parte maior do prédio é aproximadamente 92,70 metros.

Fontes

LIVIO, M. Razão Áurea: A história de fi, um número surpreendente. Tradução de Matsuama, S. 6ª ed. Rio de Janeiro: Editora Record, 2011.

LIMA, E. et al. A matemática do Ensino Médio. vol. 2. Rio de Janeiro: SBM, 1998.