Múltiplos e divisores

Compreender o conceito de múltiplo e divisor de um número inteiro é muito importante para resolver grande parte dos cálculos matemáticos. Esses conceitos são válidos tanto para os números naturais quanto para os números inteiros, visto que os números naturais estão contidos nos números inteiros:

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Múltiplos de um número inteiro

Conhecidos os números inteiros m e n, o número m será múltiplo de n se, e somente se, existir um número inteiro k, de modo que:

m = n ∙ k

Para verificar se um número é múltiplo de outro, basta encontrar um número inteiro de modo que a multiplicação entre eles resulte no primeiro número.

Exemplos:

a) 35 é múltiplo de 7, pois 35 é igual a 7 multiplicado pelo número inteiro 5.

b) 63 é múltiplo de 21, pois 63 é igual a 21 multiplicado pelo número inteiro 3.

c) 22 não é múltiplo de 3, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulte em 22.

Do exemplo a, perceba que m = 35, n = 7 e que o número a determinar a existência é k = 5. O mesmo vale para os demais exemplos. Perceba também que, caso não encontremos o valor de k, podemos afirmar que os números não são múltiplos.

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• Múltiplos de 2

2 ∙ 1 = 2

2 ∙ 2 = 4

2 ∙ 3 = 6

2 ∙ 4 = 8

2 ∙ 5 = 10

2 ∙ 6 = 12

2 ∙ 7 = 14

2 ∙ 8 = 16

2 ∙ 9 = 18

2 ∙ 10 = 20

Da definição de múltiplos, podemos perceber que os números que resultam da multiplicação por 2 são os múltiplos do número inteiro 2. Então, os múltiplos do número 2, que chamamos por M(2), são:

M(2) = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;...}

• Múltiplos de 3

3 ∙ 1 = 3

3 ∙ 2 = 6

3 ∙ 3 = 9

3 ∙ 4 = 12

3 ∙ 5 = 15

3 ∙ 6 = 18

3 ∙ 7 = 21

3 ∙ 8 = 24

3 ∙ 9 = 27

3 ∙ 10 = 30

De maneira semelhante, perceba que todos os números que são resultados da multiplicação por 3 são múltiplos do número inteiro 3. Veja:

M(3) = {3;6;9;12;15;18;21;24;27;30;...}

• Observação

O número zero pertence ao conjunto dos inteiros e sabemos que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero, ou seja, o número zero é múltiplo de todo número inteiro.

0 = 0 ∙ k

Divisor de um número inteiro

Conhecidos os números m e n, dizemos que n é divisor de m se n for múltiplo de m, em outras palavras, a divisão de n por m deve deixar resto 0.

Exemplos:

a) 21 é múltiplo de 7, então 7 é divisor de 21.

b) 99 é múltiplo de 11, então 11 é divisor de 99.

c) 12 não é múltiplo de 5, então 5 não é divisor de 12.

Nos exemplos a e b, que trazem as divisões de 21 por 7 e 99 por 11, o resto é igual a 0.

Representamos os divisores de um número da seguinte maneira:

a) Divisores de 2: D(2) = {1;2}

b) Divisores de 3: D(3) = {1;3}

c) Divisores de 20: D(20) = {1;2;4;5;10;20}

Propriedade dos múltiplos e divisores

As propriedades que envolvem múltiplos e divisores estão relacionadas com a divisão de dois números inteiros. Das definições, podemos perceber que, quando um número inteiro é múltiplo de outro, ele também é divisível por esse outro número.

Para as duas primeiras propriedades, tome dois números inteiros N e d e considere o algoritmo.

N = d ∙ q + r, com q e r também naturais

N é o dividendo, d é o divisor, q é o quociente e r é o resto.

• Propriedade 1: (N - r) é múltiplo de d, em outras palavras, d é um divisor de (N - r). Logo, (N - r) é o maior número que é menor que N.

• Propriedade 2: (N - r + d) é múltiplo de d, em outras palavras, d é um divisor de (N - r + d). Logo, (N - r + d) é o menor número que é maior que N.

Exemplo

Na divisão de 230 por 12, temos o quociente (q) igual a 19 e resto (r) igual a 2. Perceba também que N =230 e d =1 e que, de fato, (230 – 2 +12) = 240, que é divisível por 12.

Leia também: Algoritmo da divisão: como utilizar?

Observações importantes

Uma importante consequência da definição de múltiplos e divisores é a implicação na definição de números primos. Um número inteiro p positivo é chamado de primo se tiver como divisores somente o número 1 e si próprio. Então, os números 2, 3 5, 7 são primos porque, na lista de seus divisores, os únicos números que aparecem são o número 1 e o próprio número.

O número inteiro 2 é o único número par que é primo. Os demais pares são todos múltiplos de 2, portanto já perdem a características de números primos.

Tabela dos primos entre 1 e 100

Exercício resolvido

Questão 1. (Uece) Maria observou que suas férias, naquele ano, terminaram no dia 27 de julho, uma segunda-feira, e agendou uma reunião com seus amigos no primeiro feriado do segundo semestre, que no caso era dia 7 de setembro. A reunião foi agendada para um (a):

a) sábado

b) domingo

c) segunda-feira

d) terça-feira

e) sexta-feira

Solução:

Após o dia 27 de julho até a data do feriado, que é dia 7 de setembro, são 4 + 31 + 7 = 42 dias, que, por sua vez, é múltiplo de 7. Assim, a reunião ficou agendada para uma segunda-feira. Letra c.