Números triangulares

Números triangulares pertencem ao conjunto dos naturais e podem ser representados na forma de triângulos.

Número triangular 10, representado pela sequência 1 a 4 nas faces frontais dos dados

Os números triangulares pertencem ao conjunto dos números naturais e podem ser representados na forma de um triângulo equilátero. Para isso, no lugar de representar os números por algarismos, usam-se unidades. Por exemplo, três pontos não colineares e que possuem a mesma distância, dois a dois, podem ser vistos como vértices de um triângulo equilátero:

Triângulo equilátero formado por três unidades

Assim, o número 3 é considerado um número triangular.

Sequência de números triangulares

O primeiro número triangular é 1. Isso acontece porque as fórmulas usadas para determinar números triangulares também funcionam para o 1 e não existe restrição que o exclua desse conjunto. Como não é possível construir um triângulo com dois pontos, o próximo número triangular é 3. Pelo mesmo motivo, o número triangular seguinte é 6 e o próximo é 10, como mostra a imagem abaixo.

Sequência de números triangulares

Observe que, para conseguir o primeiro número triangular, usamos apenas um ponto. Para o segundo, adicionamos ao primeiro dois pontos. Para o terceiro, adicionamos ao segundo três pontos e assim sucessivamente. Em termos matemáticos, sendo S_i correspondente a cada triângulo (assim, S₁ está relacionado ao primeiro triângulo, S₂, ao segundo etc.), teremos os seguintes números triangulares:

S₁ = 1

S₂ = 1 + 2 = 3

S₃ = 1 + 2 + 3 = 6

S₄ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

S₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

…

Portanto, os números triangulares podem ser obtidos pela soma dos termos de progressões aritméticas de números naturais com razão 1 e primeiro termo 1.

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Números triangulares e progressões aritméticas

Como os números triangulares podem ser vistos como progressões aritméticas, é natural usar a soma dos termos dessas progressões para tentar encontrá-los. A soma dos termos de uma progressão aritmética (PA) de razão 1 é dada pela seguinte expressão:

Soma dos termos de uma PA

O lado esquerdo da igualdade indica apenas que estamos somando os termos iniciais de uma PA com n termos. A segunda parte é a fórmula que será usada. Assim, todo número triangular é resultado da soma S dos termos da PA (1, 2, 3, 4, 5, …), que pode ser obtido da seguinte forma:

S = n(n + 1)
2

*n é o número de termos da PA.

Por exemplo, o primeiro número triangular é 1. Usando a fórmula acima para encontrá-lo, teremos n = 1, pois é o primeiro número triangular:

S = n(n + 1)
2

S = 1(1 + 1)
2

S = 1(2)
2

S = 2
2

S = 1

Já o décimo número triangular tem n = 10, pois é o décimo número triangular:

S = n(n + 1)
2

S = 10(10 + 1)
2

S = 10(11)
2