Whatsapp icon Whatsapp

Propriedades dos radicais

As propriedades dos radicais permitem simplificar e resolver raízes de qualquer índice.
Uma das propriedades das raízes ilustrada em uma raiz quadrada
Uma das propriedades das raízes ilustrada em uma raiz quadrada

A radiciação é uma operação matemática que envolve um produto (multiplicação) cujos fatores são todos iguais em seu fundamento, isto é, uma “potência”.

Nas potências, é dado um número chamado base, que é multiplicado por si mesmo n vezes (n é o expoente). Na radiciação, é feito o contrário: é dada a potência a fim de encontrar a base. Assim como todas as operações matemáticas, todo esse processo obedece a algumas propriedades, conhecidas como propriedades dos radicais ou propriedades das raízes.

Essas propriedades são utilizadas para simplificar e até mesmo para resolver raízes de índices elevados ou que possuam resultado não exato. Contudo, antes de uma exposição dessas propriedades, é bom relembrar o que é um radical e como encontrar seus resultados.

O que é um radical?

Radical é o símbolo utilizado para identificar uma radiciação.

Definição da “raiz enésima de x”
Definição da “raiz enésima de x”

Na imagem acima, n é o índice, x é o radicando e L é a raiz enésima. O símbolo “√” é conhecido como radical e é utilizado para representar a operação matemática radiciação.

Nessa operação, o número L é obtido de acordo com o seguinte princípio: L é um número que, multiplicado por si mesmo n vezes, tem x como resultado, ou seja, Ln = x. Dessa maneira, a radiciação é o inverso da potenciação.

Uma vez definidas as raízes e de posse do conceito de radical, podemos dar início a exposição das propriedades dos radicais

Propriedades dos radicais ou propriedades das raízes

1ª Propriedade

A raiz enésima de um número elevado a enésima potência é o próprio número. Em outras palavras, essa propriedade trata das raízes em que o índice do radical é igual ao expoente do radicando. Observe:

A raiz enésima de um número elevado a enésima potência
A raiz enésima de um número elevado a enésima potência

2ª Propriedade

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

O índice de uma raiz pode ser multiplicado (ou dividido) por um número real qualquer, desde que o expoente do radicando também seja multiplicado (ou dividido) pelo mesmo número. Matematicamente:


Multiplicação ou divisão do índice de um radical e do expoente do radicando pelo mesmo fator

3ª Propriedade

Essa propriedade trata das raízes em que o radicando é o produto entre dois números. Ela pode ser interpretada da seguinte maneira: A raiz enésima do produto é igual ao produto das raízes enésimas. Isso significa que:

A raiz do produto é igual ao produto das raízes
A raiz do produto é igual ao produto das raízes

4ª Propriedade

Essa propriedade é idêntica à anterior, mas se aplica à divisão de dois números quaisquer. Nesse caso, a raiz enésima da razão é igual à razão entre as raízes enésimas. Observe:

A raiz da razão é igual à razão das raízes
A raiz da razão é igual à razão das raízes

Propriedade

Uma potência de uma raiz pode ser reescrita trazendo o expoente para o radicando. Matematicamente esta propriedade é dada da seguinte maneira:

Propriedade envolvendo uma potência de algum radical
Propriedade envolvendo uma potência de algum radical

6ª Propriedade

Essa propriedade diz respeito às raízes de raízes. Considerando a raiz enésima da raiz enésima de um número, é possível obter o seu resultado utilizando o seguinte:

Propriedade envolvendo uma raiz de algum radical
Propriedade envolvendo uma raiz de algum radical

7ª Propriedade

Todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário. Observe:

Propriedade que relaciona raízes de potências a potências com expoentes fracionários
Propriedade que relaciona raízes de potências a potências com expoentes fracionários

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva
Assista às nossas videoaulas

Artigos Relacionados

Potência de base inteira
Potência, Potenciação, Definição de Potência, representação de potência, Base, Expoente, multiplicação de fatores iguais, multiplicação, Produto, o que é potência, Fatores iguais, leitura de uma potência, Potência de base inteira, Potência de base negativa, potência de base positiva.
Potência fracionária
Transformando números em radicais em números com potências fracionárias. Compreendendo como escrever uma radiciação em forma de potência fracionária.
Potência fracionária
Transformando números em radicais em números com potências fracionárias. Compreendendo como escrever uma radiciação em forma de potência fracionária.
Potência fracionária
Transformando números em radicais em números com potências fracionárias. Compreendendo como escrever uma radiciação em forma de potência fracionária.
Radiciação
Conheça a radiciação, aprenda a calcular a raiz de um número, entenda as propriedades da radiciação. Resolva os exercícios propostos sobre o tema.
Raiz cúbica
Aprenda a calcular uma raiz cúbica e confira os casos mais famosos dessa raiz com índice 3.
Raiz cúbica
Aprenda a calcular uma raiz cúbica e confira os casos mais famosos dessa raiz com índice 3.
Raiz quadrada
Conheça a operação matemática raiz quadrada, aprenda a como calculá-la e veja os tipos existentes.
Raiz quadrada
Conheça a operação matemática raiz quadrada, aprenda a como calculá-la e veja os tipos existentes.
Resolvendo raízes por meio da fatoração
Você sabe como encontrar a raiz de um número, independente de seu índice? Aprenda a encontrar raízes exatas por meio da fatoração!
video icon
Texto"Matemática do Zero | Semelhança de Triângulos" em fundo azul.
Matemática do Zero
Matemática do Zero | Semelhança de Triângulos
Nessa aula veremos que para dois triângulos serem semelhantes é necessário que os ângulos correspondentes sejam congruentes e os lados homólogos proporcionais. Para isso, basta analisar os seguintes casos de semelhança de triângulos: AA (Ângulo, Ângulo), LLL (Lado, Lado, Lado) e LAL(Lado, Ângulo, Lado).