Raiz cúbica

A raiz cúbica é um caso particular de radiciação — a radiciação com índice 3. É representada por \(\sqrt[3]x\). A raiz cúbica de x é o número a tal que a³ = x.

Leia também: Raiz quadrada — o caso de radiciação com índice 2

Representação da raiz cúbica

A raiz cúbica é uma radiciação cujo índice é igual a 3. Podemos representar a raiz cúbica de um número x da seguinte forma:

\(\sqrt[3]{x}=a\)

• 3 é o índice da raiz;

• x é o radicando;

• a é o radical.

Como se calcula a raiz cúbica?

Sabemos que a radiciação tem como operação inversa a potenciação, o que significa que para calcular a raiz cúbica de um número, podemos utilizar a operação inversa da raiz cúbica, que é a potência de expoente 3. Calcular a raiz cúbica de um número x é encontrar qual número elevado a 3 tem como resultado x. 

\(\sqrt[3]x=a→a^3=x\)

Exemplo 1:

\(\sqrt[3]8=2\)

Sabemos que a raiz cúbica de 8 é igual a 2, pois 2³ é igual a 8.

Exemplo 2:

\(\sqrt[3]{27}=3\)

Similarmente, sabemos que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ é igual a 27.

Acontece que nem sempre a raiz cúbica é uma conta simples como as que foram apresentadas. Algumas vezes, é necessário utilizar a decomposição do número em fatores primos, agrupando esses fatores como potências de base 3 para calcular a raiz cúbica.

Exemplo 3:

Calcularemos \(\sqrt[3]{3375}\).

Para encontrar a raiz cúbica desse número, primeiramente vamos decompô-lo em fatores primos:

Assim, podemos reescrever 3375 como 3³ ⋅ 5³. Portanto:

\(\sqrt[3]{3375}=\sqrt[3]{3^3⋅5^3}\)

Como temos todos os elementos do lado direito da igualdade ao cubo dentro de uma raiz cúbica, podemos eliminar o radical e os expoentes:

\(\sqrt[3]{3375}=3⋅5\)

\(\sqrt[3]{3375}=15\)

Principais raízes cúbicas exatas

Os números naturais que possuem raiz cúbica exata são conhecidos como cubos perfeitos, pois podem ser escritos como um número natural elevado ao cubo.

Veja as principais raízes cúbicas exatas:

\(\sqrt[3]0=0\)

\(\sqrt[3]1=1\)

\(\sqrt[3]8=2\)

\(\sqrt[3]{27}=3\)

\(\sqrt[3]{64}=4\)

\(\sqrt[3]{125}=5\)

\(\sqrt[3]{216}=6\)

\(\sqrt[3]{343}=7\)

\(\sqrt[3]{512}=8\)

\(\sqrt[3]{729}=9\)

\(\sqrt[3]{1000}=10\)

\(\sqrt[3]{1331}=11\)

\(\sqrt[3]{1728}=12\)

\(\sqrt[3]{2197}=13\)

\(\sqrt[3]{2744}=14\)

\(\sqrt[3]{3375}=15\)

\(\sqrt[3]{4096}=16\)

\(\sqrt[3]{4913}=17\)

\(\sqrt[3]{5832}=18\)

\(\sqrt[3]{6859}=19\)

\(\sqrt[3]{8000}=20\)

\(\sqrt[3]{9281}=21\)

\(\sqrt[3]{10648}=22\)

\(\sqrt[3]{12167}=23\)

\(\sqrt[3]{13824}=24\)

\(\sqrt[3]{15625}=25\)

\(\sqrt[3]{17576}=26\)

\(\sqrt[3]{19683}=27\)

\(\sqrt[3]{21952}=28\)

\(\sqrt[3]{24389}=29\)

\(\sqrt[3]{27000}=30\)

\(\sqrt[3]{64000}=40\)

\(\sqrt[3]{125000}=50\)

\(\sqrt[3]{216000}=60\)

\(\sqrt[3]{343000}=70\)

\(\sqrt[3]{512000}=80\)

\(\sqrt[3]{729000}=90\)

\(\sqrt[3]{1000000}=100\)

Leia também: Propriedades da radiciação — veja as formas de simplificar raízes

Como calcular a raiz cúbica por aproximação?

Quando a raiz cúbica de um número natural não é exata, a sua solução será uma dízima não periódica, então podemos calcular a aproximação da raiz.

Exemplo 1:

Calcule \(\sqrt[3]20\).

Sabemos que essa não é uma raiz cúbica exata, então o primeiro passo para encontrar a aproximação dessa raiz é verificar entre quais cubos perfeitos o número 20 está.

Sabemos que:

\(8<20<27\)

\(\sqrt[3]8<\sqrt[3]20<\sqrt[3]27\)

\(2<\sqrt[3]20<3\)

Considerando que o resultado tenha 1 casa decimal, vamos calcular os cubos entre 2 e 3 e ver qual mais se aproxima de 20.

2,1³ = 9,261
2,2³ = 10,648
2,3³ = 12,167
2,4³ = 13,824
2,5³ = 15,625
2,6³ = 17,576
2,7³ = 19,683
2,8³ = 21,952

Note que a partir de 2,8, o resultado passa de 20, então podemos dizer que:

\(\sqrt[3]{20}≈2,7\) aproximado por falta

\(\sqrt[3]{20}≈2,8\) aproximado por excesso

Caso quisermos calcular a segunda casa decimal, já sabemos que:

\(2,7<\sqrt[3]{20}<2,8\)

Então, calcularemos os cubos dos números decimais entre 2,7 e 2,8 até passar de 20:

2,71³ = 19,90
2,72³ = 20,12

Note que 2,72 já passou de 20, logo temos:

\(\sqrt[3]{20}≈2,71 \) aproximado por falta

\(\sqrt[3]{20}≈2,72 \) aproximado por excesso

A quantidade de casas decimais e o fato de a aproximação ser por excesso ou por falta são fatores que dependem do objetivo da conta.

Exemplo 2:

Calcule o valor de \(\sqrt[3]{450}\).

Sabemos que:

\(343<450<512\)

Então:

\(\sqrt[3]{343}<\sqrt[3]{450}<\sqrt[3]{512}\)

\(7<\sqrt[3]{450}<8\)

Calculando os cubos dos números entre 7 e 8:

7,1³ = 357,911
7,2³ = 373,248
7,3³ = 389,017
7,4³ = 405,224
7,5³ = 421,875
7,6³ = 438,976
7,7³ = 456,533

Sabemos que:

\(\sqrt[3]{450}=7,6\) aproximado por falta

\(\sqrt[3]{450}=7,7\) aproximado por excesso

Calcularemos mais uma casa decimal da aproximação:

\(7,6<\sqrt[3]{450}<7,7\)

7,61³ = 440,71
7,62³ = 442,45
7,63³ = 444,19
7,64³ = 445,94
7,65³ = 447,69
7,66³ = 449,45
7,67³ = 451,21

Podemos concluir que:

\(\sqrt[3]{450}=7,66\) aproximado por falta

\(\sqrt[3]{450}=7,67\) aproximado por excesso

Exercícios resolvidos sobre raiz cúbica

Questão 1

O cubo é um sólido geométrico que possui todas as dimensões com a mesma medida. Para calcular o volume de um cubo, elevamos a medida da sua aresta ao cubo. Sabendo disso, Daniel leu no rótulo de um recipiente cúbico que o seu volume era de 1331 cm³. Então, a medida de uma aresta desse recipiente é:

A) 9 cm

B) 10 cm

C) 11 cm

D) 12 cm

E) 13 cm

Resolução:

Alternativa C

Queremos calcular a raiz cúbica de 1331:

\(\sqrt[3]{1331}=\sqrt[3]{11^3}=11\)

Questão 2

O número que mais se aproxima da raiz cúbica de 50 é:

A) 3,4

B) 3,5

C) 3,6

D) 3,7

E) 3,8

Resolução:

Alternativa D

Sabemos que:

\(\sqrt[3]{27}<\sqrt[3]{50}<\sqrt[3]{64}\)

\(3<\sqrt[3]{50}<4\)

Calculando as potências, temos:

3,1³ = 29,791
3,2³ = 32,768
3,3³ = 35,937
3,4³ = 39,304
3,5³ = 42,875
3,6³ = 46,656
3,7³ = 50,653

Analisando a possibilidade de aproximação por falta e por excesso, notamos que a opção que mais se aproxima é 3,7, pois o cubo de 3,7 passa somente 0,653 de 50.