Whatsapp icon Whatsapp

Radiciação

A radiciação é uma operação matemática que possui várias aplicações, dominá-la é importante para resolver-se problemas envolvendo potenciação, já que essas operações são inversas.

Calcular a raiz enésima de um número x é encontrar qual número que, elevado a n, é igual a x. A radiciação possui propriedades importantes que servem para facilitar as contas e realizar simplificações de radicais. Para realizar operações com radiciação, é importante o domínio de cada uma das suas propriedades e compreender o significado de cada um dos seus termos.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Leia também: Como fazer a racionalização com raízes enésimas?

Radiciação é uma operação matemática sendo a inversa da potenciação.
Radiciação é uma operação matemática sendo a inversa da potenciação.

Representação de uma radiciação

Para representar a raiz de um número, utilizamos um símbolo conhecido como radical (√ ), a raiz de um número qualquer é representada pela seguinte operação:

√ → radical

a→ radicando

b→ raiz

n→ índice

Observação: quando n = 2, chamamos de raiz quadrada, e, nesse caso, escrever o número 2 no índice torna-se opcional.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Radiciação e potenciação

Para calcular-se a raiz de um número, é fundamental entender que a radiciação é a operação inversa da potenciação, então dominar potenciação é essencial para calcular-se a raiz de um número.

Ao escrever a raiz enésima de a e afirmar que ela é igual a b, ou seja:

estamos dizendo que, quando calculamos bn, encontramos o número representado pela letra a. Portanto é essencial entender que quando se fala que um número é raiz enésima de um outro número, isso significa que a raiz elevada ao índice é igual ao radicando.

Exemplos:

Veja também: Propriedades das potências – quais são e como as utilizar?

Propriedades da radiciação

As propriedades da radiciação são meios para facilitar-se o cálculo de problemas que envolvem tal operação. Existe um total de sete propriedades, e dominar cada uma delas é de grande importância para resolução de problemas sobre o tema.

  • 1ª propriedade

A raiz enésima de um número a elevado a n é igual ao próprio número a, ou seja, calculando a raiz de um número cujo o índice da raiz é igual ao expoente do radicando, encontraremos como resposta o próprio radicando.

  • 2ª propriedade

A raiz enésima do produto é igual ao produto de duas raízes enésimas. Se o radicando for o produto entre dois números, podemos separar como a multiplicação da raízes enésimas de cada uma de suas parcelas.

  • 3ª propriedade

A raiz enésima de uma divisão é igual ao quociente entre duas raízes enésimas. Se o radicando for uma divisão entre dois números, podemos separar como a raiz enésima do dividendo, dividido pela raiz enésima do divisor.

  • 4ª propriedade

Podemos multiplicar ou dividir (simplificar) o índice da raiz, desde que a mesma operação seja feita com o expoente do radicando.

  • 5ª propriedade

Quando encontramos a raiz de uma raiz, podemos multiplicar seus índices e representar essa operação com um único radical.

  • 6ª propriedade

A potência de uma raiz enésima pode ser reescrita como a raiz enésima do radicando elevada a essa potência.

  • 7ª propriedade

A raiz enésima pode ser transformada em uma potência com expoente racional. O índice da raiz corresponde ao denominador, e o expoente da base corresponde ao numerador:

Acesse também: Como aplicar as propriedades da radiciação?

Simplificação de radicais

Quando estamos trabalhando com um valor que não possui uma raiz exata, podemos fazer a simplificação desse radical. Para isso, é necessário algum método para decompor o número em fatores primos.

Exemplo:

Escreva na forma simplificada a raiz quadrada de 360.

Vamos realizar a fatoração de 360 utilizando o método das divisões sucessivas.

360|2→ 2 é o menor número primo que divide 360;
180|2→ 2 é o menor número primo que divide 180;
  90|2 → 2 é o menor número primo que divide 90;
  45|3 → 3 é o menor número primo que divide 45;
  15|3 → 3 é o menor número primo que divide 15;
    5|5 → 5 é o menor número primo que divide 5.
    1|

Sendo assim, temos que 360= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.

Como o nosso objetivo é simplificar uma raiz quadrada, vamos agrupar esses fatores de 2 em 2, logo, podemos reescrever 360 como:

360= 2² · 2 · 3² · 5

Assim, podemos reescrever a raiz de 360, utilizaremos a primeira propriedade para simplificar a raiz quadrada, o que significa que os termos que estão elevados ao quadrado sairão do radical, e os que não estão permanecem dentro do radical:

Operações com radicais

  • Adição e subtração

A adição e a subtração de dois radicais são operações que, muitas vezes, são feitas de forma errada. Acontece que não podemos somar ou subtrair o radical de uma raiz com o radical de outra, ainda que o índice seja o mesmo:

√2 + √3 ≠ √5

Na busca por não cometer esse erro, o que deve ser feito é deixar representada a adição como no primeiro membro da equação. Vale lembrar que se trata de raízes. Realizar a soma ou a subtração de duas raízes e representá-las de forma mais simples só é possível se estivermos falando da mesma raiz, por exemplo:

√2 + √2 = 2√2

Nesse caso sempre somaremos os coeficientes, ou seja, o número que acompanha a raiz, lembrando que não se pode somar o radicando de cada uma delas.

Quando necessário, podemos simplificar as raízes para que elas tenham os mesmos radicandos, e aí sim realizar a operação:

√72 - √50

Sabemos que

72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

72 = 2² · 2 · 3²

e também podemos reescrever o 40 como:

50 = 2 · 5 · 5

50 = 2 · 5²

Então teremos:

  • Multiplicação e divisão

Para realizar a multiplicação, é necessário que o índice seja o mesmo para todas as raízes. Quando isso ocorre, acabamos recorrendo à 2ª e à 3ª propriedade. Somente nesses casos é possível realizar-se a operação.

Exemplo:

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Sendo “a” e “b” números reais positivos e “n” e “m” números inteiros maiores do que 1, assinale a alternativa incorreta:

Resolução

Alternativa B.

Analisando-se as alternativas, a única que não corresponde a uma das propriedades da radiciação é a B, não podemos separar a soma da forma que foi feito.

a) → 2ª propriedade

b) → Não é uma propriedade da radiciação.

c) → 5ª propriedade

d) → 1ª propriedade

Questão 2 -  (IFG 2010) O resultado do cálculo da expressão é:

Resolução

Alternativa C.

Note que todas as frações possuem mesmo índice, o que permite que seja feita a multiplicação, então, primeiro, faremos a propriedade distributiva e, posteriormente, faremos as simplificações necessárias. Para facilitar, escreveremos 25 como 5².

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira
Assista às nossas videoaulas

Artigos de Radiciação

Racionalização com raízes enésimas
Clique para aprender a racionalizar frações que apresentam raízes quadradas no denominador. Esse procedimento, feito para encontrar frações equivalentes que não têm raízes enésimas, pode simplificar cálculos. Conheça ainda a racionalização de frações que possuem somas ou subtrações de raízes quadradas no denominador.
Raiz cúbica
Aprenda a calcular uma raiz cúbica e confira os casos mais famosos dessa raiz com índice 3.
Raiz quadrada
Conheça a operação matemática raiz quadrada, aprenda a como calculá-la e veja os tipos existentes.
Raiz quadrada aproximada
Clique aqui e aprenda como calcular a raiz quadrada aproximada de um número que não possui raiz quadrada exata.
Raiz Quadrada de Números Fracionários
Utilizando a fatoração na determinação da raiz quadrada.
Raiz Quadrada de Números Racionais Positivos
Calculando raízes.
Raiz Quadrada de um Número Negativo
Número imaginário.
video icon
Escrito"Simple Future" em fundo azul.
Inglês
Simple Future | Will
Hello guys! Meu nome é Richard e sou professor de Inglês. Hoje vamos aprender sobre o Simple future com o verbo Will, mas antes, não se esqueça de se inscrever no nosso canal, ativar o sininho e ficar ligado em todas as nossas atualizações, right?

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.