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Propriedades da multiplicação e da adição para o cálculo mental

As propriedades da multiplicação e da adição contribuem para que alunos desenvolvam suas habilidades com cálculo mental.

Adição e multiplicação são operações matemáticas que apresentam algumas propriedades pouco exploradas no Ensino Fundamental e Médio. Elas podem contribuir de maneira significativa para o cálculo mental e agilizar as resoluções de diversos exercícios. A seguir mostraremos algumas dessas propriedades e daremos dicas de como utilizá-las.

  • Associatividade

Sejam a, b e c números reais quaisquer, a propriedade associativa da adição é a seguinte:

(a + b) + c = a + (b + c)

A propriedade associativa da multiplicação é a seguinte:

(a·b)·c = a·(b·c)

Em outras palavras, em uma “cadeia de adições”, tanto faz o número que será somado primeiro. O resultado final será igual. Observe o exemplo abaixo:

24 + 13 + 7

Utilizando a propriedade acima, teremos o seguinte:

(24 + 13) + 7 = 24 + (13 + 7) = 24 + 20 = 44

  • Comutatividade

Sejam a e b números reais quaisquer, a propriedade comutativa da adição é a seguinte:

a + b = b + a

E a propriedade comutativa da multiplicação é a seguinte:

a·b = b·a

Em outras palavras, essa propriedade garante que o resultado de uma multiplicação ou de uma soma será o mesmo independentemente da ordem dos fatores. Por exemplo:

32·60 = 60·32 = 1920

  • Comutatividade + associatividade = cálculo mental

Se as duas propriedades acima forem combinadas, especialmente para a adição, é possível calcular algumas expressões numéricas de maneira muito mais fácil. Observe o exemplo:

22 – 5 + 7 + 18 – 5 + 24 + 13

Pela comutatividade, podemos reescrever a expressão acima da seguinte maneira:

22+ 18 + 13 + 7 + 24 – 5 – 5

Já pela associatividade, podemos escolher a ordem de adição que torna os cálculos acima mais fáceis. Veja um exemplo:

(22+ 18) + (13 + 7) + (24 – 5 – 5)

40 + 20 + (24 – 5 – 5)

Observe que podemos usar a propriedade associativa mais uma vez nos números que já estão dentro dos parênteses. Somaremos os números negativos primeiro, depois diminuiremos o resultado de 24:

40 + 20 + (24 – 5 – 5)

40 + 20 + (24 – 10)

40 + 20 + 14

60 + 14

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  • Multiplicação por potências ou múltiplos de 10

As potências de 10 são 10, 100, 1000, … que podem ser escritos na forma: 101, 102, 103, …

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Não é necessário realizar todo o processo do algoritmo da multiplicação quando ela envolver um desses números. Para realizar essa multiplicação, coloque no final do outro fator a quantidade de zeros (ou o expoente da potência de 10) que o multiplica. Por exemplo:

125·10000 = 1250000

Basta adicionar quatro zeros após o 125. Esse será o resultado da multiplicação acima.

Quando a multiplicação envolve múltiplos de 10, o procedimento é parecido, mas depende de um passo inicial.

Conte quantos zeros os múltiplos de 10 possuem e multiplique apenas sua parte inicial, que possui outros algarismos. Os zeros que foram contados devem ser colocados ao final desse resultado parcial, como no exemplo seguinte:

432 000 ·50500 

Observe que, para esse cálculo, só devem ser “separados” os zeros que aparecem após o último algarismo não nulo do número. Nesse exemplo, eles estão destacados em vermelho.

Faça a multiplicação a seguir e coloque 5 zeros no final do resultado parcial.

432·505 = 21816000000

Esse será o resultado da multiplicação solicitada no início.

  • Propriedade distributiva

Dados os números reais a, b e c, a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição diz o seguinte:

a(b+ c) = a·b + a·c

Essa propriedade pode ser usada da seguinte maneira:

Caso seja necessário realizar uma multiplicação de dois fatores, é possível decompor um dos fatores em uma soma, multiplicar separadamente e somar os resultados depois. Observe o exemplo abaixo:

432·50 =

(400 + 30 + 2)·50 =

400·50 + 30·50 + 2·50 =

Utilizando a multiplicação por múltiplos de 10, podemos afirmar que 400·50 = 4·5(000) = 20000. Esses cálculos podem ser feitos mentalmente com tranquilidade. Basta multiplicar 4 por 5 e adicionar 3 zeros ao resultado. Desse modo, 30·50 = 1500 e 2·50 = 100. Logo:

400·50 + 30·50 + 2·50 =

20000 + 1500 + 100 =

21600

Essa última adição também pode ser feita mentalmente com tranquilidade.

As outras duas propriedades da multiplicação e da adição estão ligadas à existência de elemento neutro e à existência de elemento inverso, entretanto, elas não contribuem de maneira significativa ao cálculo mental. Mais informações sobre elas podem ser encontradas no texto “Propriedades da multiplicação dos números inteiros”.

Algumas propriedades contribuem para o cálculo mental em adição e multiplicação
Algumas propriedades contribuem para o cálculo mental em adição e multiplicação
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
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