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Raízes complexas de uma equação polinomial

As raízes complexas de uma equação polinomial ocorrem em pares em razão dos seus conjugados.

Ao resolver uma equação polinomial p(x) = 0, podemos identificar várias raízes e, dentre elas, destacam-se as raízes complexas. Se um número complexo z é raiz de uma equação polinomial de grau n (n > 1, n  ), então o conjugado de z é também raiz da equação. Em toda equação polinomial, quando houver raízes complexas, o seu número será sempre par em razão do conjugado.

Antes de vermos alguns exemplos de raízes complexas, vamos relembrar alguns conceitos dos números complexos. Um número complexo z é escrito na forma z = a + b.i e seu conjugado z é representado na forma z = a – b.i. Devemos ter cuidado ao realizar operações com os números complexos, veja alguns exemplos:

Adição e Subtração:

Nas operações de adição e subtração, devemos operar a parte real de um complexo com a parte real de outro, enquanto a parte imaginária de um só é operada com a parte imaginária do outro. Considere os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di:

z1 + z2 = (a + c) + (b + d).i
z1 – z2 = (a – c) + (b – d).i

Multiplicação:

Devemos aplicar a propriedade distributiva para todos os elementos dos complexos:

z1 . z2 = ac – bd + (ad + bc).i

Operações com Conjugados:

Observe como são feitas as operações com conjugados de um número complexo
Observe como são feitas as operações com conjugados de um número complexo

Como encontrar raízes complexas em uma equação polinomial?

Vamos resolver a seguinte equação polinomial: x4 – 2x2 + 16x – 15 = 0, sabendo que z = 1 + 2i é solução da equação.

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Se z = 1 + 2i é solução da equação, então seu conjugado z = 1 – 2i também é solução. Sendo assim, o produto (x – z).(x – z) divide o polinômio p(x) = x4 – 2x2 + 16x – 15:

(x – z).(x – z) = [x – (1 + 2i )] [x – (1 – 2i)]

(x – z).(x – z) = (x – 1 – 2i).(x – 1 + 2i)

(x – z).(x – z) = x² – x + 2xi – x + 1 – 2i – 2xi + 2i – (2.i)²

(x – z).(x – z) = x² – 2x + 1 – 4.(√– 1)²

(x – z).(x – z) = x² – 2x + 5

Dividindo o polinômio x4 – 2x2 + 16x – 15 por x² – 2x + 5, obtemos a equação polinomial: x² + 2x – 3 = 0. Já essa equação pode ser facilmente resolvida através da fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = 2² – 4.1.(– 3)

Δ = 4 + 12

Δ = 16

x = – b ± √Δ
       2.a

x = – 2 ± √16
        
2.1

x = – 2 ± 4
        
2

x1 = – 2 + 4
        
2

x1 = 2
       
2

x1 = 1

x2 = – 2 – 4
        
2

x2 = – 6
        
2

x2 = – 3

Portanto, o conjunto solução da equação polinomial x4 – 2x2 + 16x – 15 = 0 é S = {– 3, 1, 1 + 2i, 1 – 2i}.

Resolva equações polinomiais que possuem raízes complexas
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Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
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