Raízes complexas de uma equação polinomial
Ao resolver uma equação polinomial p(x) = 0, podemos identificar várias raízes e, dentre elas, destacam-se as raízes complexas. Se um número complexo z é raiz de uma equação polinomial de grau n (n > 1, n ), então o conjugado de z é também raiz da equação. Em toda equação polinomial, quando houver raízes complexas, o seu número será sempre par em razão do conjugado.
Antes de vermos alguns exemplos de raízes complexas, vamos relembrar alguns conceitos dos números complexos. Um número complexo z é escrito na forma z = a + b.i e seu conjugado z é representado na forma z = a – b.i. Devemos ter cuidado ao realizar operações com os números complexos, veja alguns exemplos:
Adição e Subtração:
Nas operações de adição e subtração, devemos operar a parte real de um complexo com a parte real de outro, enquanto a parte imaginária de um só é operada com a parte imaginária do outro. Considere os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di:
z1 + z2 = (a + c) + (b + d).i
z1 – z2 = (a – c) + (b – d).i
Multiplicação:
Devemos aplicar a propriedade distributiva para todos os elementos dos complexos:
z1 . z2 = ac – bd + (ad + bc).i
Operações com Conjugados:
Observe como são feitas as operações com conjugados de um número complexo
Como encontrar raízes complexas em uma equação polinomial?
Vamos resolver a seguinte equação polinomial: x4 – 2x2 + 16x – 15 = 0, sabendo que z = 1 + 2i é solução da equação.
Se z = 1 + 2i é solução da equação, então seu conjugado z = 1 – 2i também é solução. Sendo assim, o produto (x – z).(x – z) divide o polinômio p(x) = x4 – 2x2 + 16x – 15:
(x – z).(x – z) = [x – (1 + 2i )] [x – (1 – 2i)]
(x – z).(x – z) = (x – 1 – 2i).(x – 1 + 2i)
(x – z).(x – z) = x² – x + 2xi – x + 1 – 2i – 2xi + 2i – (2.i)²
(x – z).(x – z) = x² – 2x + 1 – 4.(√– 1)²
(x – z).(x – z) = x² – 2x + 5
Dividindo o polinômio x4 – 2x2 + 16x – 15 por x² – 2x + 5, obtemos a equação polinomial: x² + 2x – 3 = 0. Já essa equação pode ser facilmente resolvida através da fórmula de Bhaskara:
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 2² – 4.1.(– 3)
Δ = 4 + 12
Δ = 16
x = – b ± √Δ
2.a
x = – 2 ± √16
2.1
x = – 2 ± 4
2
x1 = – 2 + 4
2
x1 = 2
2
x1 = 1
x2 = – 2 – 4
2
x2 = – 6
2
x2 = – 3
Portanto, o conjunto solução da equação polinomial x4 – 2x2 + 16x – 15 = 0 é S = {– 3, 1, 1 + 2i, 1 – 2i}.