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Segmentos proporcionais

As medidas entre segmentos de reta são proporcionais quando a razão entre essas medidas, seguindo uma ordem preestabelecida, tem o mesmo resultado.

Antes de discutir segmentos proporcionais, é importante compreender bem as proporções, que, por sua vez, exigem conhecimento a respeito de razões.

A divisão entre números reais é chamada de razão. As razões podem ser representadas de diversas formas. A representação que será utilizada aqui é a de frações, portanto, se a razão entre os números reais A e B tiver como resultado o número C, escreveremos:

A = C
B       

É importante notar que razões são utilizadas para relacionar grandezas. Assim, se calcularmos a razão entre as grandezas “distância percorrida” e “tempo”, por exemplo, teremos a grandeza “velocidade média” como resultado.

Deslocamento = velocidade média
tempo                              

Quando duas razões possuem o mesmo resultado, dizemos que essas razões (ou as grandezas em que foram observadas) são proporcionais. Dessa forma, podemos estudar a proporcionalidade entre duas grandezas observando os valores delas em momentos distintos e dividindo esses valores a fim de construir uma proporção.

Por exemplo: Uma pessoa de 1,8 m de altura possui uma sombra de 1 metro, e uma árvore de 3,6 m de altura possui uma sombra de 2 metros. A razão entre altura e sombra da pessoa é igual à mesma razão da árvore, pois ambas têm como resultado 1,8.

1,8 = 3,6 = 1,8
  1       2          

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Logo, altura e sombra são grandezas proporcionais.

O mesmo vale para segmentos de reta. Ao dividir as medidas entre dois segmentos de reta, obteremos a razão entre eles.

Dizemos que quatro segmentos de reta são proporcionais quando a razão entre as medidas de dois deles forem iguais à razão entre as medidas dos dois restantes.

Em outras palavras, de acordo com a imagem acima, os segmentos AB, CD, EF e GH são proporcionais porque:

AB = EF = 0,5
CD    GH         

Com essa informação, é possível descobrir a medida de um dos quatro segmentos. Observe o exemplo:

Caso o problema mostre de alguma forma que os segmentos são proporcionais, seguindo a mesma ordem citada anteriormente, podemos facilmente encontrar a medida do segmento AB. Para tanto, basta escrever:

AB = EF
CD    GH

Substitua as medidas:

AB = 4
  12   16 

Como 4/16 = 0,25, devemos procurar o número que, ao ser dividido por 12, resulta em 0,25. Agora resolvemos a equação:

AB = 0,25
12          

AB = 0,25 · 12

AB = 3

Portanto, AB mede 3 centímetros.

Segmentos, dois a dois, cujas razões são iguais
Segmentos, dois a dois, cujas razões são iguais
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
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Teste agora seus conhecimentos com os exercícios deste texto
Lista de Exercícios

Questão 1

Os segmentos de reta AB, CD, EF e GH são proporcionais nessa ordem. Algumas de suas medidas são: AB = 12 cm, CD = 16 cm e EF = 14 cm. Qual é a medida do segmento que falta?

a) 18 cm

b) 18,7 cm

c) 20 cm

d) 20,7 cm

e) 22 cm

Questão 2

Sabendo que os segmentos de reta AB, CD, EF e GH são proporcionais nessa ordem e que AB = x, CD = x + 2, EF = 12 cm e GH = 16 cm, quais são as medidas dos segmentos AB e CD, respectivamente?

a) 6 cm e 8 cm

b) 8 cm e 6 cm

c) 6 cm e 6 cm

d) Apenas 6 cm

e) 24 cm e 6 cm

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