Whatsapp icon Whatsapp

Teorema de Tales

Teorema de Tales afirma que um feixe de retas paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. Desse modo, se temos duas retas paralelas “cortadas” por duas transversais, os segmentos formados por essa intersecção são proporcionais.

Leia também: Duas retas paralelas cortadas por um transversal

Representação e fórmula

Para melhor entendermos o enunciado do teorema, representaremos graficamente o feixe de retas paralelas interceptadas por retas transversais.

Observe que as retas r, s e t são paralelas e denotadas por r//s//t, as retas p e q são as transversais, os segmentos AB, BC, DE e EF foram determinados pelas intersecções das retas, e que, pelo teorema de Tales, esses segmentos são proporcionais, ou seja, as razões entre eles são iguais.

Em consequência das propriedades das proporções, podemos escrever o resultado do teorema de Tales destas maneiras:

  • Exemplos

Na figura a seguir, r//s//t, determine as medidas dos segmentos.

Aplicando o teorema de Tales, temos:

Para determinar a medida dos segmentos, devemos substituir os valores de x.

Teorema de Tales nos triângulos

O teorema de Tales aplicado nos triângulos é mais conhecido por teorema da bissetriz interna. Esse afirma que:

“Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto a ele em duas partes proporcionais, em relação a seus lados adjacentes.

Observe que o segmento AD é a bissetriz do triângulo ABC, visto que ele divide o ângulo BÂC em duas partes iguais. De acordo com o teorema, o segmento de reta AD divide o lado oposto, ou seja, o lado BC, em dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes, isto é, os lados AB e AC são proporcionais aos lados BD e DC nessa ordem, e, portanto, podemos escrever:

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

  • Exemplo

Considere o triângulo seguinte e determine o valor de x, sabendo que o segmento AD é a bissetriz relativa ao lado BC.

Saiba mais: Intersecção de retas concorrentes

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem) A planta de determinado bairro de uma cidade apresentou o desenho a seguir. O responsável pelo departamento de obras do município constatou a ausência de algumas medidas nessa planta, as quais ele representou no projeto por x e y.

Com base nos dados do projeto, esse responsável pôde calcular corretamente os respectivos valores de x e y:

a) 35 m e 56 m

b) 25 m e 40 m

c) 35 m e 70 m

d) 56 m e 70 m

e) 56 m e 84 m

Solução

Observando a imagem, temos que o teorema de Tales pode ser aplicado na planta do bairro. Os segmentos que ligam as ruas A e B são paralelos, logo, temos:

Portanto, os valores de x e y são, respectivamente, 35 m e 56 m.

R: alternativa a

Questão 2 – Em um triângulo ABC, o perímetro é 54 cm, BS é a bissetriz, AS = 8 cm, e SC = 10 cm. Determine a medida do lado AB.

Solução

Inicialmente vamos ilustrar o triângulo descrito no problema, nomeando x e y os lados dos quais não conhecemos a medida.

Como foi dado que o perímetro do triângulo ABC é 54 cm, temos que a soma de todos os lados é igual a 54 cm.

x + y + 18 = 54

x + y = 54 -18

x + y = 36

Por outro lado, podemos aplicar o teorema da bissetriz interna no triângulo ABC, tendo que:

Isolando o valor de x na primeira equação, temos que x = 36 – y, e substituindo esse valor na segunda equação, temos que:

10x = 8y

10 · (36 – y) = 8y

360 – 10y = 8y

360 = 8y + 10y

18y = 360

y = 20

Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações, temos:

x = 36 – y

x = 36 – 20

x = 16

Portanto, o lado AB mede 16 cm.

Publicado por Robson Luiz
Assista às nossas videoaulas

Artigos Relacionados

Aplicação da relação entre volumes
Aplicando a relação entre volumes, um estudo para determinar relações entre as medidas que determinam esses volumes.
Esfera
Corpo Esférico
Clique aqui e aprenda a calcular a área e o volume de um corpo esférico.
O Teorema de Pitágoras no Cotidiano
Clique aqui e entenda como o Teorema de Pitágoras está presente em nosso cotidiano.
Segmentos de reta paralelos nos trilhos de um trem
Paralelismo
Clique para aprender o que é paralelismo e as propriedades mais importantes relacionadas com essa posição relativa entre retas e planos.
Todas as posições relativas entre reta e plano presentes na mesma ilustração
Posições relativas entre reta e plano
Clique para aprender o que são retas contidas no plano, secantes ou paralelas a ele: as chamadas posições relativas entre reta e plano.
Faixas amarelas em estrada representando retas paralelas
Retas paralelas
Aprenda o que são retas paralelas e a relação entre retas paralelas cortadas por uma transversal. Veja também como o teorema de Tales se aplica nesses casos.
Segmentos, dois a dois, cujas razões são iguais
Segmentos proporcionais
Confira casos em que as duas razões entre quatro segmentos de reta são iguais e, por isso, os segmentos são proporcionais!
O segmento de comprimento d é a bissetriz do triângulo.
Teorema da bissetriz interna
Conheça o teorema da bissetriz interna e como aplicá-lo em um triângulo para encontrar valores desconhecidos. Confira ainda exercícios sobre o assunto.
Teorema que avalia os resultados de uma reta paralela a um lado de um triângulo
Teorema fundamental da semelhança
Clique para aprender sobre um caso interessante de semelhança de triângulos decorrente do teorema fundamental da semelhança.
A pirâmide é um sólido geométrico que pode apresentar diferentes formas de base.
Volume da pirâmide
Aprenda a calcular o volume da pirâmide. Conheça a fórmula para calcular o volume da pirâmide. Calcule o volume de pirâmides com diferentes bases.
Volume de um Sólido Geométrico
Volume: definição e exemplos de sólidos geométricos
Volume do Paralelepípedo
O volume do paralelepípedo corresponde à multiplicação do comprimento pela largura e pela altura. Confira!
Volume do Tronco da Pirâmide
Determinando os elementos e calculando o volume do tronco da pirâmide.
video icon
História
Ditadura Militar no Chile
Assista a nossa videoaula para conhecer a história da Ditadura Militar no Chile (1973-1990). Confira também no nosso canal outras informações sobre a Guerra Fria e a Ditadura Militar no Brasil.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Videoaula Brasil Escola
Matemática
Área da esfera
Clique para aprender a calcular a área da esfera.
video icon
Videoaula Brasil Escola
Inglês
Estrangeirismo
Nessa videoaula você entende sobre o estrangeirismo na música "Samba do Approach."
video icon
videoaula brasil escola
História
Crise de 1929
A quebra da bolsa de valores de Nova Iorque afetou não só os EUA, como o mundo. Entenda!